【推荐1】已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2点，D是AC中点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处，连接PC．
（1）写出BP，BD的长；
（2）求证：四边形BCPD是平行四边形．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线AB交坐标轴于点，点C为x轴正半轴上一点，连接AC，将△ABC沿AC所在的直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求出点C的坐标；
（3）点P为直线AB上的点，请求出点P的坐标使S_△COP＝；
（4）点Q为直线AB上一动点，连接DQ，线段DQ是否存在最小值？若存在，请求出DQ的最小值，若不存在，请说明理由．

【推荐3】对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B的“确定圆”的示意图．

（1）已知点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（3，3），则点A，B的“确定圆”的面积为______；
（2）已知点A的坐标为（0，0），若直线y＝x＋b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，求点B的坐标；
（3）已知点A在以P（m，0）为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线上，若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围．

【推荐1】如图，M是正方形的边上一点，E是边的中点，平分．

(1)如图1，写出线段和之间的数量关系_______；
(2)若四边形是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断（1）中的关系式是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【推荐2】下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

定理：在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，，连接．     求证：．
方法一 证明：如图，延长到点E，使得，连接	方法二 证明：如图，延长到点F，使得，连接，．

【推荐3】如图所示，在矩形中，平分.
（1）求的度数；
（2）求证：.

【推荐1】如图，已知点E为的边上的一点，且．
   
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点M（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，若，求证：四边形是菱形．

【推荐2】如图，在矩形中，垂直平分，分别交于点，连接．

求证：四边形是菱形；若，求的长．

【推荐3】如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接，．

(1)求证：；
(2)当为的中点时，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若为的中点，则当　　　　时，四边形是正方形．