【推荐1】探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．

(1)求证：，；
(2)迁移应用：如图2，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为，求点N的坐标；
(3)拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线分别与x轴、y轴交于点Q、点P，以线段为一边作等腰直角三角形，请直接写出点R的坐标．

【推荐2】如图，已知直线分别与轴、轴交于点、，直线分别与轴、轴交于点，且，．

(1)求、的值；
(2)过点作交轴于点，求线段的长；
(3)在（2）问的条件下，点关于轴的对称点为点，平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，，若为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点的“衍生矩形”．下图为点的“衍生矩形”的示意图．
（1）已知点的坐标为，点的坐标为求点的“衍生矩形”的面积；
（2）已知点的坐标为，点在直线上，若点的“衍生矩形”为正方形，求直线的解析式；
（3）的半径为，点的坐标为．若在上存在一点，使得点的“衍生矩形”为正方形，求的取值范围．

【推荐1】如图，在边长为12cm的等边中，P、Q两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s．当点Q第一次到达A点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．求：

(1)用含t的代数式表示_______．
(2)是否存在t，使得为等边三角形．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在t，使得为直角三角形．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半）

【推荐2】如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为．

(1)试问和有何数量关系？并证明之；
(2)求证：是的中点．

【推荐1】如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，EC⊥BC与点C，连接BD、DE、AE且CE=BD，
求证：△ADE为等边三角形

【推荐2】如图1，在等边中，点在边上，点在的延长线上，．

（1）求证：；
（2）如图2，点是点关于直线的对称点，连接，，．猜想与之间的数量关系，并说明理由．

【推荐3】如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上不与A，B重合的一动点，＝，连接AC，CD，AD，BC，延长BC交AD于F，交半圆O的切线AE于E．

（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）填空：
①若AE＝，BE＝5，则BF的长为　 　；
②当∠E的度数为　 　时，四边形OACD为菱形．

【推荐1】根据下列条件，如图，解直角三角形：在Rt△ABC中，C90，a8，B60．

【推荐2】双子楼是某地的标志性建筑之一，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端点处观测双子楼顶端处的仰角是，然后爬到该楼房顶端点处观测双子楼底部处的俯角是．已知楼房高约是，根据以上观测数据，求双子楼的高是多少米．

【推荐3】已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点．

(1)如图1，若．
①求证：；
②连接，求证：
(2)如图2，若，求的值．