【推荐1】如图，抛物线与直线交于两点，交轴与两点，连接已知．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：是直角三角形；
（3）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】（2017江苏省连云港市）如图，已知二次函数（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；
（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁的外接圆记为⊙M₁，是否存在某个位置，使⊙M₁经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，抛物线y=x²+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

【推荐2】如图①，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点D出发沿BD方向以1cm/s的速度向点B运动，运动终点为B；点Q从点B出发沿着BD的方向以2cm/s的速度向点D运动，运动终点为D．两点同时出发，设运动时间为x（s），以A、Q、C、P为顶点的图形面积为y（cm²），y与x的函数图像如图②所示，根据图像回答下列问题：

（1）BD=       ，a=       ；
（2）当x为何值时，以A、Q、C、P为顶点的图形面积为4cm²？
（3）在整个运动的过程中，若△AQP为直角三角形，请直接写出符合条件的所有x的值：．

【推荐3】已知:正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若DE:AE:CE= ，求∠AED的度数；
（3）若BC = 4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时(如图2)，若OF =，求CN的长．

【推荐1】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
   
(1)求抛物线的表达式；
(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，抛物线过点，，．

(1)求抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，请求出点的坐标．
(3)在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，抛物线的图象交轴于两点，交轴于点，直线经过两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，抛物线的对称轴是x=1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点在抛物线的对称轴上，连接，将线段以点为旋转中心顺时针旋转，得到线段，当点落在抛物线上，求出此时点的坐标；
(3)如图2，抛物线的对称轴与直线相交于点，于轴交于点，点在直线上，点在抛物线上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由．

【推荐2】如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

   

(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，二次函数y=ax²＋2ax＋b的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（0，），其顶点在直线y=－2x上.
（1）求a，b的值；
（2）写出当－2≤x≤2时，二次函数y的取值范围；
（3）以AC、CB为一组邻边作□ACBD，则点D关于x轴的对称点D’是否在该二次函数的图象上？请说明理由.