学以致用:问题1:怎样用长为
的铁丝围成一个面积最大的矩形?
小学时我们就知道结论:围成正方形时面积最大,即围成边长为
的正方形时面积最大为
.请用你所学的二次函数的知识解释原因.
思考验证:问题2:怎样用铁丝围一个面积为
且周长最小的矩形?
小明猜测:围成正方形时周长最小.
为了说明其中的道理,小明翻阅书籍,找到下面的材料:
结论:在
、
均为正实数)中,若
为定值
,则
,当且仅当
时,
有最小值
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/efd90e148efdab0f2950e5337fe54902.png)
均为正实数)的证明过程:
对于任意正实数
、
,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/16f3d198e76391779fa3badc848c8ac8.png)
,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2de0d10ef8b748d4531250c37c5d3f9e.png)
,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2de0d10ef8b748d4531250c37c5d3f9e.png)
,当且仅当
时,等号成立.
解决问题:
(1)若
,则
(当且仅当
时取“
”
;
(2)运用上述结论证明小明对问题2的猜测;
(3)当
时,求
的最小值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fc78a3b284e57c70528495772abb6af5.png)
小学时我们就知道结论:围成正方形时面积最大,即围成边长为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3f319d8ffd15a6ce36ca7aecad4fd087.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/96319a533644dbb631ae54264ebc26c6.png)
思考验证:问题2:怎样用铁丝围一个面积为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4ff1db07f1d003acfb73a3b7533de4b6.png)
小明猜测:围成正方形时周长最小.
为了说明其中的道理,小明翻阅书籍,找到下面的材料:
结论:在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6be30ce0ea83388a89513157647c8735.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/18f0281e6bbdbe08beeccb55adf84536.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdcf3e1bc32b766cbdd81e74968f9818.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f22fec5a381ae8aca93d876e54c79de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/20d6fc9b90f370fbb27552876b650f8f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/280f7cc99fa100b85cc7a133811a9a8d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/efd90e148efdab0f2950e5337fe54902.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e51bc93f7a62885a5cac145ffab33528.png)
对于任意正实数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/16f3d198e76391779fa3badc848c8ac8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d73624e313aee02dca0ae0414cab7449.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2de0d10ef8b748d4531250c37c5d3f9e.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2de0d10ef8b748d4531250c37c5d3f9e.png)
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解决问题:
(1)若
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4ec0618ae3a4fde6d6220010af229b9a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6706fe00b4e231e62d9ecbec567d526b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/04582116cd765fcc5a52f44279ad6c94.png)
(2)运用上述结论证明小明对问题2的猜测;
(3)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/adc3e5be1796493161a4df7e28a6f6b7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/71addead4b49a3d8344e4954215a1372.png)
19-20九年级上·江西赣州·期中 查看更多[4]
江西省赣州市蓉江新区潭东中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试题(已下线)专题21.5 实际问题与二次函数【十大题型】-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列(沪科版)(已下线)专题22.5 实际问题与二次函数【十大题型】-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列(人教版)(已下线)专题1.5 实际问题与二次函数【十大题型】-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列(浙教版)
更新时间:2019-11-27 08:18:54
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【推荐1】阅读材料,请回答下列问题
材料一:我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即已知三角形的三边长,求它的面积.用现代式子表示即为:S=
…①(其中a,b,c为三角形的三边长,S为面积)而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”;S=
……②(其中p=
)
材料二:对于平方差公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
公式逆用可得:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,
例:a2﹣(b+c)2=(a+b+c)(a﹣b﹣c)
(1)若已知三角形的三边长分别为3、4、5,请试分别运用公式①和公式②,计算该三角形的面积;
(2)你能否由公式①推导出公式②?请试试.
材料一:我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即已知三角形的三边长,求它的面积.用现代式子表示即为:S=
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【推荐2】在求代数式的值时,当单个字母不能或不用求出时,可把已条件作为一个整体,通过整体代入,实现降次、消元、归零、约分等,快速求得其结果.如:已知
,
,求代数式
的值.可以这样思考:
因为
,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24a86b0a8cae29fb000bac2d8955ea50.png)
所以![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73a43b2aa2b4836d7d1d1b29aed6e918.png)
即![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1409c156dd50c6898adc41de5f608c21.png)
所以![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d22aa128ea66f2f40e9bc6ebf113ac4d.png)
举一反三:
(1)已知
,
,求
的值.
(2)已知
, 则
的值.
(3)已知
,求
的值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9625c98ad4bd1ed666462987a476c949.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24a86b0a8cae29fb000bac2d8955ea50.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c925be255ca736a53b24d13ddede1a86.png)
因为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9625c98ad4bd1ed666462987a476c949.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24a86b0a8cae29fb000bac2d8955ea50.png)
所以
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73a43b2aa2b4836d7d1d1b29aed6e918.png)
即
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1409c156dd50c6898adc41de5f608c21.png)
所以
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d22aa128ea66f2f40e9bc6ebf113ac4d.png)
举一反三:
(1)已知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11e5675fe6a4524f2ef65d4d37f8798a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4ce93abe35fc2e5b614e871f412fb30e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/18f0281e6bbdbe08beeccb55adf84536.png)
(2)已知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/921b1d1da9e0ba79e6b24cf7cf90d512.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e3527b502026133d4fffdeb08245f272.png)
(3)已知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/987cd215b655e166d5507b7ed7169aec.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/85b4863d6b76743fc35f19d18ef30ae7.png)
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【推荐1】如图,菱形
的边长为2,
,点E,F分别是边
上的两个动点,且满足
.
(1)求证:
.
(2)判断
的形状,并说明理由.
(3)设
的面积为S,求S的取值范围.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/714cc3707bba3bfdb56e251999be8592.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e7835c72d14f9d61b95b15aa47fafac2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dee9b9b2ab83d39fddfb6f2f8c296ddf.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/8/31/03c9814f-0b44-469b-9c6f-e47ab45e618c.png?resizew=180)
(1)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0cd62b004acf6e16131548aecdb50a18.png)
(2)判断
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5f2ea13010e2399194be2a681310543e.png)
(3)设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5f2ea13010e2399194be2a681310543e.png)
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【推荐2】在平面直角坐标系中,对于任意三点A,B,C的“矩面积”,给出如下定义:
“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h为任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”
.
已知:如图,
.
,则A,B,C三点的“水平底”
,“铅垂高”
,“矩面积”
__________;
(2)点P在x轴上,若A,B,P三点的“矩面积”为10,则点P的坐标为_______;
(3)点
,
①若A,B,M三点的“矩面积”为8,直接写出满足题意的m的最大值;
②若
,直接写出A,B,M三点的“矩面积”S的取值范围.
“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h为任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09665a97106abb423f5f7ed190fc8aae.png)
已知:如图,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5c515a75eabff1a80c5e47941c5e4480.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5077dd5e584beda91f6e083c26036c42.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ab839d8569171afab5ed55c22013aa72.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8db8814b2124793c2bdf3ea701fb14ca.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7880a7c697773b7fc21a95318d87c6ff.png)
(2)点P在x轴上,若A,B,P三点的“矩面积”为10,则点P的坐标为_______;
(3)点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/91097475f48628fadf7d2222c8d71536.png)
①若A,B,M三点的“矩面积”为8,直接写出满足题意的m的最大值;
②若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9e34f42b3be15518c29e3689c9fe6d6d.png)
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【推荐1】过山车是一项富有刺激性的娱乐工具,深受年轻游客的喜爱.某游乐场修建了一款大型过山车.如图所示,
为这款过山车的一部分轨道(B为轨道最低点),它可以看成一段抛物线,其中
米,
米(轨道厚度忽略不计).
(1)求抛物线
的函数表达式;
(2)在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米,当过山车运动到C处时,又进入下坡段
(接口处轨道忽略不计,E为轨道最低点),已知轨道抛物线
的形状与抛物线
完全相同,E点坐标为
,求n的值;
(3)现需要对轨道下坡段
进行安全加固,建造某种材料的水平和竖直支架
,且要求
,已知这种材料的价格是100000元/米,请计算
多长时,造价最低?最低造价为多少元?
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bfd66776565f049eb453c14fcaf79234.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cb0e6cf70bbd2d8dcf2d714d77d3e036.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/90db6301d89393bfdcbe1e447452aabc.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/6/11/e5d9def3-b9d4-4017-8333-ac967e5a26a7.png?resizew=225)
(1)求抛物线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bfd66776565f049eb453c14fcaf79234.png)
(2)在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米,当过山车运动到C处时,又进入下坡段
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a7f865f049bb7c251f190b60b634c418.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/757df05cd2587153b9a83b36aa61266f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bfd66776565f049eb453c14fcaf79234.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b025d3f4790c0f291f1ee5528ab248d.png)
(3)现需要对轨道下坡段
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42acae4bf2a6bead9d904b70d0480fc0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1843a07d936f262e490801f64664f4ca.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7a2a0c83322fdf2677ec7ac98455d160.png)
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【推荐2】科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示,图中点的横坐标表示科技馆从8:30开门后经过的时间(分钟),纵坐标表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为
,10:00之后来的游客较少可忽略不计.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2016/7/4/1574216059052032/1574216065433600/STEM/5b693ea18324410b89eff7229c201a12.png?resizew=208)
(1)请写出图中曲线对应的函数解析式;
(2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过684人,后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆4人,直到馆内人数减少到624人时,馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟?
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c60310023bc2cf2c62f629d1b224fb51.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2016/7/4/1574216059052032/1574216065433600/STEM/5b693ea18324410b89eff7229c201a12.png?resizew=208)
(1)请写出图中曲线对应的函数解析式;
(2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过684人,后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆4人,直到馆内人数减少到624人时,馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟?
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【推荐3】北方的冬天,人们酷爱冰雪运动,在这项运动里面,我们可以用数学知识解决一些实际问题.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为x轴,过跳台终点A作水平线的垂线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,图中的抛物线
近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从点O正上方50米处的A点滑出,滑出后沿一段抛物线
运动.当运动员运动到离A处的水平距离为60米时,离水平线的高度为60米.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/9/17/42eeeb78-7d3c-4697-928a-71291ae544b8.png?resizew=426)
(1)求小山坡最高点到水平线的距离.
(2)求抛物线
所对应的函数表达式.
(3)当运动员滑出点A后,直接写出运动员运动的水平距离为多少米时,运动员与小山坡
的竖直距离为10米.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ee9e755962ae3c8591b009a8a6a0b77a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6dfabc20216529c0eef8a9c87f59c123.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/9/17/42eeeb78-7d3c-4697-928a-71291ae544b8.png?resizew=426)
(1)求小山坡最高点到水平线的距离.
(2)求抛物线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23f3ffe7abc59e2f65d827c8eab8d36a.png)
(3)当运动员滑出点A后,直接写出运动员运动的水平距离为多少米时,运动员与小山坡
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1241216f3c1cb5e73043dd1037f556d.png)
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