【推荐3】几何探究
【课本再现】
（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来．请帮助小新完成下列问题：
①求证；
②连接，则之间的数量关系是____________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度．

【推荐2】已知：如图（1），在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，点C在第一象限，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A坐标为（m，0），点C横坐标为n，且m²+n²﹣2m﹣8n+17＝0．

（1）分别求出点A、点B、点C的坐标；
（2）如图（2），点D为边AB中点，以点D为顶点的直角∠EDF两边分别交边BC于E，交边AC于F，①求证：DE＝DF；②求证：S_{四边形DECF}＝S_△ABC；
（3）在坐标平面内有点G（点G不与点A重合），使得△BCG是以BC为直角边的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点G的坐标．

【推荐3】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．

【模型应用】
（2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点；

②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，点D是直线BC上一点，以DE为一边作等边△DEF，连接CF．

(1)如图1，若点D在边BC上，直接写出CE，CF与CD之间的数量关系        ；
(2)如图2，若点D在边CB的延长线上，上述结论是否还成立？并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，若EF经过BC中点G，∠EFC＝15°，DB﹣CE＝6，求△ABC的高．

【推荐1】如图1，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF．

（1）当点D与点B重合时，如图2，求证：CE+CF=CD；
（2）当点D运动到如图3的位置时，猜想CE、CF、CD之间的等量关系，并说明理由；
（3）只将条件“点D是BC边上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点”，如图4，猜想CE、CF、CD之间的等量关系为     （不必证明）．

【推荐2】【问题背景】如图1，两条相等的线段，交于点O，，连接，，求证：．
证明：过点C作的平行线，过点B作的平行线，两平行线交于点E，连接．
，．
四边形为平行四边形，则__________，．
，
．
又，
为等边三角形，__________．
，即．

(1)请完成证明中的两个填空．
(2)【迁移应用】如图2，矩形中，，，点M在边上，点在边上，点O在上，过点O作的垂线，交于点F，交于点E．
①求出的值；
②求的最小值．
(3)【联系拓展】如图3，为等腰三角形，，过点A作的平行线l，点D在直线上，点A到的距离为2，求线段的最小值．

【推荐3】已知是等边三角形，点D为平面内一点，连接DB，DC，．如图①，当点D在BC下方时，连接AD，延长DC到点E，使，连接AE．

(1)求证：；
(2)如图②，过点A作于点F，求线段AF，BD，DC间的数量关系．