【推荐1】已知直线分别交轴、轴于，两点，线段上有一动点由原点向点运动，速度为每秒1个单位长度，过点作轴的垂线交直线于点，设运动时间为秒.线段上另有一动点由点向点运动，它与点以相同速度同时出发，当点到达点时两点同时停止运动（如图）.

（1）直接写出秒时，两点的坐标；
（2）若以，，为顶点的三角形与相似，求的值.

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线 y  2x  4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点．

（1）求 A 、 B 两点的坐标；
（2）若点 M 为直线 y  mx 上一点，且ABM 是等腰直角三角形，求 m 的值；
（3）过 A 点的直线 y  kx  2k 交 y 轴负半轴于 P ，N 点的横坐标为1，过 N 点的直线于点 M ，试探究 PM 与 PN 之间的数量关系．

【推荐3】已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C．

   

(1)求新函数的图象的解析式；
(2)在射线上一动点，连接，试求的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)如图2，过点画平行于y轴的直线，
①求证：是等腰直角三角形；
②将直线沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线与x轴交于点，与y轴交于点，在直线上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

【推荐1】在和中，，，．

(1)如图1，当时，探索与的关系；
(2)如图2，当时，请探索与的关系，并证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，分别在、上取点、，使得，，试探索与的关系，并证明．

【推荐2】阅读下列材料，完成（1）~（3）题：
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，E是AC的中点，经过点A、C作射线BE的垂线，垂足分别为点F、G，连接AG．探究线段DF和AG的关系．某学习小组的同学经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“经过观察和度量，发现∠ABF和∠ACG相等．”小刚：“经过观察和度量，发现有两条线段和AF相等．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段DF和AG的关系．”
……
老师：“若点E不是AC的中点，其他条件不变（如图2），可以求出的值．”

（1）求证：AF=FG；
（2）探究线段DF和AG的关系，并证明；
（3）直接写出的值．

【推荐3】已知：为直线 上的一点，以为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向（即），射线，射线的方向如各图所示．
（1）如图1所示，当 时：
①若，则射线的方向是                ．
② 与 的关系为                ，
③ 与 的关系为                ．

（2）若将射线，射线绕点旋转至图的位置，另一条射线恰好平分，旋转中始终保持．
①若，则 度 .
②若，则 （用含 的代数式表示）．
（3）若将射线，射线绕点旋转至图的位置，射线仍然平分，旋转中始终保持，则与之间存在怎样的数量关系，并说明理由．

【推荐1】如图，等腰直角ABC的直角顶点C(m，n)位于第一象限，点A，B（0，t）分别在x，y轴上，在y轴上，是以为斜边的等腰直角三角形．
（1）如图1，求证：m=n；
（2）如图2，在y轴正半轴上，延长交x轴于点E，求证：；
（3）如图3，若和B关于x轴对称，①当B从运动到的位置，点D的运动路径长为____；
②当射线经过AB的中点时，t、m满足的数量关系是　　　　　　　　　　　．

【推荐3】已知：如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，．直线与轴交于点A，交轴于点B．过C点作直线AB的垂线，垂足为E，交轴于点D．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点G为轴负半轴上一点，连接EG，过点E作交轴于点H．设点G的坐标为，线段AH的长为．求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（3）过点C作轴的垂线，过点G作轴的垂线，两线交于点M，过点H作于点N，交直线CD于点，连接MK，若MK平分，求的值．
   

【推荐2】已知：点是边所在直线上的一个动点（点与点，不重合），，，连接，点绕点顺时针转得到点，连接，，．

(1)如图1，当点在线段的延长线上时，请你判断线段与线段之间的关系，并证明你判断的结论．
(2)如图2，当点在线段上，且时，直接写出四边形的面积．
(3)点绕点A逆时针转得到点，连接，，，当时，直接写出线段的长．

【推荐3】如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．过点，作直线．

(1)直接写出结果： ，     ，直线的解析式为 ．
(2)如图2，点是抛物线在第四象限的一动点，其横坐标为．
①当点关于直线的对称点恰好在轴上时，求点的坐标；
②直线是抛物线的对称轴，过点作轴的平行线，与直线和轴分别交于点，．过点作直线的垂线，与直线和轴分别交于点，，连接．当时，求的值．