【推荐1】如图，点C在的直径上方的圆弧上运动（不与点A，B重合），射线交于点E，，交于点P，平分．
   
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求直径的长．

【推荐2】如图，是圆O的切线，切点为A，是圆O的直径，连接交圆O于E．过A点作 于点D，交圆O于B，连接．

(1)求证：；
(2)求证：是圆O的切线；
(3)若，求的长．

【推荐3】如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径．

【推荐1】如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，，过点作的切线与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当，时，求线段的长．

【推荐2】如图，在中，，于点，，.点从点出发，在线段上以每秒的速度向点匀速运动；与此同时，垂直于的直线从底边出发，以每秒的速度沿方向匀速平移，分别交、、于点、、，当点到达点时，点与直线同时停止运动，设运动时间为秒（）.
（1）当时，连接、，求证：四边形为菱形；
（2）当时，求的面积；
（3）是否存在某一时刻，使为以点或为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出此时刻的值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我们的课本封面、A4 的打印纸等，这些矩形的长与宽之比都为：1，我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图（1），在“完美矩形”ABCD 中，点 P 为 AB 边上的定点，且 AP＝AD．
（1）求证：PD＝AB．
（2）如图（2），若在“完美矩形“ABCD 的边 BC 上有一动点 E，当的值是多少时，△PDE 的周长最小？
（3）如图（3），点 Q 是边 AB 上的定点，且 BQ＝BC．已知 AD＝1，在（2）的条件下连接 DE 并延长交 AB 的延长线于点 F，连接 CF，G 为 CF 的中点，M、N 分别为线段 QF 和 CD 上的动点，且始终保持 QM＝CN，MN 与 DF 相交于点 H，请问 GH 的长度是定值吗？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由．

【推荐1】如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将BD绕点B逆时针旋转30°到BE所在的位置，BE与AD交于点F，分别连接DE、CE．

(1)求证：DE=DF；
(2)求证：；
(3)求tan∠ACE的值．

【推荐2】如图，内接于，连接，．记，，．

(1)探究与之间的数量关系，并证明．
(2)设与交于点，半径为1，
①若，，求由线段，，弧围成的图形面积．
②若，设，用含的代数式表示线段的长．

【推荐3】如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，．

(1)若为的直径，求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．