【推荐3】（1）如图1，在中，，，求证：；
（2）如图2，是等边三角形，点在边上，，，交延长线于点，点为中点，试探究与的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，点在边上，于点，以为边在右侧作等边，交 于点，求证：点是的中点．

【推荐2】如图，为等边三角形，为平面内任意一点，连接．
(1)如图1，在边上时，将绕点逆时针旋转得到，连接，．直接写出与的数量关系为________；直线与所夹锐角为________度；
   
(2)如图2，在边上时，将绕点逆时针旋转得到，连接交于，为边的中点，连接．猜想与存在的关系，并证明你的猜想；
   
(3)如图3，为外一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，取，的中点，，连接．试问：的值是否随图形的旋转而变化?若不变，请求出该值；若变化，请说明理由．
   

【推荐3】在中，把线段BC绕点B顺时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，已知，，，求的长；
(2)如图2，已知，点和点分别为和的中点，连接，求证：；
(3)如图3，已知且，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，请直接写出的最小值．

【推荐1】如图，在中，，，，D为边AB的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点B运动．当点P不与点C重合时，连结PD，以CP，PD为边作，设点P的运动时间为t秒．

(1)C、D两点之间的距离为________；
(2)当为矩形时，求t的值
(3)当点P在边AC上运动时，
①求点P到CD的距离为________；（用含t的代数式表示）
②设的对角线的交点为O，点D关于对角线PE的对称点为，连结，当平行Rt△ABC一边时，直接写出t的值．

【推荐2】小明研究了这样一道几何题：如图 1，在ABC 中，把 AB 点 A 顺时针旋转 00      1800 得到 AB ，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC ，连接 BC ．当    180° 时， 请问ABC 边 BC 上的中线 AD 与 BC 的数量关系是什么？ 以下是他的研究过程：

特例验证：
（1）①如图 2，当ABC 为等边三角形时，AD 与 BC 的数量关系为 AD 　　BC ；   
②如图 3，当BAC  900 , BC 8时，则 AD 长为 　　　．
猜想论证：
（2）在图 1 中，当ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并给予证明．
拓展应用
（3）如图 4，在四边形 ABCD ，，，，，，在四边形内部是否存在点 P ，使PDC 与PAB 之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在， 请画出点 P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC 的边 DC 上的中线 PQ 的长度；若不存在，说明理由．