【推荐1】如图所示，在中，点为边的中点，直线绕顶点旋转，若、在的两侧，于点，于点，连接、．求证：．

【推荐2】（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．
（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？

【推荐3】如图，正方形ABCD中，E为边AB上一点，F是BC延长线上一点，且AE=CF，连结EF交AC于点G，交CD于点H．
（1）求证：∠EDF＝90°；
（2）求证：EG＝GF；
（3）若AG•DH＝3，求EF的长．

【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．

(1)求证：EG是⊙O的切线；
(2)延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝3，CH＝4，求EM的值．

【推荐2】如图，四边形是的内接四边形，，，连接对角线，，点在线段的延长线上，且，的切线交于点.

（1）求证：；
（2）求证：.

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知点和点，给出如下定义：以为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形，则称正方形为点A，B的逆序正方形．例如，当，时，点A，B的逆序正方形如图1所示．

（1）图1中点C的坐标为__________；
（2）改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的_______坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为__________；
（3）已知正方形为点A，B的逆序正方形．
①判断：结论“点C落在x轴上，则点D落在第一象限内”______（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；
②的圆心为，半径为1．若，，且点C恰好落在上，直接写出t的取值范围．

【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．

(1)求证：①BC是⊙O的切线；
②CD²＝CE•CA；
(2)若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，以AD为直径的⊙O分别与BC，AC交于点E，F．连接DE，AE，且AE平分∠BAC．

(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求证：BE²=BD·AB；
(3)点H为的中点，连接EH交AD于点G，若AC=6，BC=8，求GH的长．

【推荐3】在中，弦平分圆周角，连接，过点D作交的延长线于点E．
   
(1)求证：是的切线；
(2)若，且B是的中点，的直径是，求的长；
(3)P是弦下方圆上的一个动点，连接和，过点D作于点H，请探究点P在运动的过程中，的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请求一出该定值．

【推荐1】如图1，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是．

   

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点是第四象限内抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为d，求d与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(3)如图3，点是第三象限内抛物线上一点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，连接交于点，连接，若，时，求点的坐标．

【推荐2】如图，△ABC中，AC=BC，点I是△ABC的内心，点O在边BC上，以点O为圆心，OB长为半径的圆恰好经过点I，连接CI，BI．
（1）求证：CI是⊙O的切线；
（2）若AC=BC=5，AB=6，求BI的长．

【推荐3】如图，已知、是半径为1的的两条弦，且，的延长线交于点D，连接、．

(1)证明：；
(2)连接，当是直角三角形时，求的长；
(3)①试探究的值是否为定值？如果是，请求出式子的值；如果不是，请说明理由；
②记、、的面积分别为、、，若，求的长．