【推荐1】如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．

(1)求证：ABF≌BCE；
(2)如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．

【推荐2】综合与探究：
【问题背景】在四边形ABCD中，，，，E，F分别是BC，CD上的点，且，试探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.
(1)【初步探索】如下图，小亮同学认为：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，则可得到BE，EF，FD之间的数量关系是_________.

(2)【探索延伸】在下图四边形ABCD中，，，E，F分别是BC，CD上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由.

(3)【结论运用】如下图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角()为70°，直接写出此时两舰艇之间的距离.

【推荐3】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F．
(1)点D在边AB上时，证明：AB=FA+BD；
(2)点D在AB的延长线或反向延长线上时，(1)中的结论是否成立？若不成立，请画出图形并直接写出正确结论．

   

【推荐1】如图，已知抛物线经过点，，点D与点C关于x轴对称，点是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交BD所在直线于点M．

(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)已知点，当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形?
(3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B，Q，M为顶点的三角形与相似?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图△ABC中，∠B=∠C=α（0<α<600）．将一把三角尺中300角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中300角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合．设∠CPQ=β．
（1）用α、β表示∠1（即∠APB）和∠2（即∠PAB）；
（2）①当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP∽△PCQ？
②当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP∽△QCP？
（3）试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．

【推荐3】已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30⁰时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

【推荐1】已知：内接于，点D在上，连接、，．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点E在上，连接，若，求证：；
（3）如图3．在（2）的条件下，若，，，求线段的长．

【推荐2】如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O（0，0），与x轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．
（1）已知AC=3，求点B的坐标；
（2）若AC=a，D是OB的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O₁，函数的图象经过点O₁，求k的值（用含a的代数式表示）．

【推荐1】如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°
操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．
探究一：在旋转过程中，
（1）如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；
（2）如图3，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；
（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为　 　，其中m的取值范围是　 　．（直接写出结论，不必证明）
探究二：若且AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm²），在旋转过程中：
（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．
（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围．

【推荐3】将按照如图所示位置放置在平面直角坐标系中，在x轴上方且与x轴平行，将绕点B顺时针旋转一定的角度得到．

(1)如图1，若点落在上，点恰好落在所在的直线上，求的度数．
(2)如图2，若，，点落在上，点O的对应点恰好落在所在的直线上，求点B的坐标；
(3)如图3，若，，是的中点，将绕点B顺时针旋转一周，则的面积S的最大值是______．