1 . 向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的_______ .对于任意向量
,以及任意实数
,
,
,恒有
=_______ .
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解题方法
2 . 平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式
(1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的___________ ;
(2)设向量
,则![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f521439862094eb8fd9ee9f347612f14.png)
__________ .
(3)中点坐标公式:若
的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段
的中点P的坐标为(x,y),则____________ .
(1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的
(2)设向量
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(3)中点坐标公式:若
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3 . 两个向量共线的坐标表示
(1)向量
共线的坐标表示
设
,则
⇔______________ .
(2)向量共线的坐标表示的推导
①设
,则
⇔
(λ∈R).
上式若用坐标表示,可写为
⇔______________ ,
即
⇔
⇔______________ .
②设
时,
⇔_______________ .
综上①②,向量共线的坐标表示为
⇔______________ .
(1)向量
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设
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(2)向量共线的坐标表示的推导
①设
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上式若用坐标表示,可写为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/91b958a367fa2f08b6202a5a6ebf5e9f.png)
即
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/91b958a367fa2f08b6202a5a6ebf5e9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1ce86b3c1bdca8583e8371161bdd0c70.png)
②设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e9eda8783044fcca1c0b40c308773c6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/91b958a367fa2f08b6202a5a6ebf5e9f.png)
综上①②,向量共线的坐标表示为
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4 . 力与向量
力与前面学过的自由向量有区别.
(1)相同点:力和向量都既要考虑______ 又要考虑______ .
(2)不同点:向量与始点无关,力和作用点有关,大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不相等的.
力与前面学过的自由向量有区别.
(1)相同点:力和向量都既要考虑
(2)不同点:向量与始点无关,力和作用点有关,大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不相等的.
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5 . 向量在物理中的应用
(1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是______
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的_________ 用向量解决速度、加速度、位移等问题,用的知识主要是向量的线性运算,有时也用坐标运算.
(3)力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力和位移两个向量的数量积,即
(
为
和
的夹角).
(1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的
(3)力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力和位移两个向量的数量积,即
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6 . 平面向量基本定理
条件 |
|
结论 | 对于这一平面内的任一向量![]() |
基底 | 若![]() ![]() |
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7 . 思考:基底有什么特点?平面内基底唯一吗?
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8 . 向量加法的几何意义
(1)三角形法则
如图,已知非零向量
,在平面内取任意一点
,作
,
,则向量
叫做
与
的和,记作
,即![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c63a549573897fcbebd2b3696d2355ad.png)
________ .这种求向量和的方法,称为向量加法的__
如图,以同一点
为起点的两个已知向量
,以
为邻边作平行四边形
,则以
为起点的向量________
是平行四边形
的对角线)就是向量
与
的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的__
(1)三角形法则
如图,已知非零向量
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/af5f1b06a56fc382feed28e01f1ad102.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/64c5562bd4d1b54424330cb6329cd79d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b45ba716f03748c19b7ce2f99af536ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ed492f7b29166ba5c1f0023b05a439c5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c63a549573897fcbebd2b3696d2355ad.png)
如图,以同一点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b8e8b95a61af300412fc65f846089028.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5a5e484dfef494d27bc35ae7b8cf75d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3ea16ceca816f7d3d50650af141baf42.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
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9 . 向量的减法
定义 | ![]() |
作法 | 在平面内任取一点![]() ![]() ![]() ![]() 如图所示: |
几何意义 | 如果把两个向量![]() ![]() ![]() ![]() 的 ![]() |
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10 . 向量的概念和表示方法
(1)向量:在数学中,我们把既有____ 又有_____ 的量叫做向量.
(2)向量的表示
①表示工具——有向线段.
有向线段包含三个要素:______ ,______ ,______ .
②表示方法:
向量可以用__________ 表示,向量
的大小称为向量
的____ (或称模),记作______ .向量可以用字母
…表示,也可以用有向线段的起点和终点字母表示,如:
,
.
(1)向量:在数学中,我们把既有
(2)向量的表示
①表示工具——有向线段.
有向线段包含三个要素:
②表示方法:
向量可以用
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