【推荐1】杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:
   
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1+3+6+10+15=35.事实上，一般有这样的结论:第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m，k（m，）的数字公式表示上述结论，并给予证明.

【推荐2】（1）用组合数公式证明：
（2）证明：.
（3）证明：.

【推荐3】在杨辉三角中，除1以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，这个三角形数阵开头几行如图所示.已知n，r为正整数，且.求证：任何四个相邻的组合数，，，不存在，.

【推荐1】已知在的展开式中，第4项与第6项的二项式系数相等．
(1)求n的值；
(2)求展开式中的有理项；
(3)若其展开式中项的系数为，求其展开式中系数的绝对值最大的项．

【推荐2】已知在的展开式中，第6项为常数项．
（1）求含的项的系数；
（2）求展开式中所有的有理项．

【推荐3】已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1:3.
（1）求n的值；
（2）求展开式中系数的绝对值最大的项.

【推荐1】在的展开式中，若__________．
①其前三项的二项式系数的和等于22；
②所有奇数项的二项式系数的和为32；
试从上面所给的两个条件中选择一个补充到上面的横线上，并解答下列问题：
(1)求该二项展开式中的常数项；
(2)求该二项展开式中系数最大的项．

【推荐2】在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．
问题：已知二项式，若______，求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中所有的有理项．

【推荐3】已知(1＋m)ⁿ(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.
（1）求m，n的值；
（2）求展开式中偶数项的二项式系数之和；
（3）求(1＋m)ⁿ(1－x)的展开式中含x²项的系数．

【推荐1】设函数，
（1）①当时，求的展开式中二项式系数最大的项；

②若，且，求；

（2）利用二项式定理求的值．

【推荐2】已知展开式的二项式系数和为512，且．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被6整除的余数．

【推荐3】已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小．求：
(1)展开式中的系数；
(2)展开式中所有的有理项．