【推荐1】已知椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有相同的焦点，，且它们的离心率都可以使方程有相等的实根，求椭圆和双曲线的方程.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线.

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．

(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率．

【推荐1】“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆.
现取半径为的圆形纸片，定点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以向量的方向为轴正方向，线段中点为原点建立平面直角坐标系.
(1)求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)已知点是圆上任意一点，过点做椭圆的两条切线，切点分别是，求面积的最大值，并确定此时点的坐标.
注：椭圆：上任意一点处的切线方程是：.

【推荐2】在①点M为椭圆C上顶点时，面积为，②椭圆过点，③离心率，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．设椭圆 的左、右焦 点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2). 已知椭圆的短轴长为，________．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求m的值和△PAB的面积.

【推荐3】已知椭圆C： 的左、右焦点分别为，点在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过定点M（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为直角（其中O为坐标原点），求直线的斜率．