【推荐1】已知点P是圆上的动点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，点M在线段DP的延长线上，且．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B两点，求△ABM面积的最小值．

【推荐2】在平面直角坐标系中，定点，和动点，以线段为直径的圆内切于圆，动点的轨迹为曲线.
（1）计算的值，并求曲线的轨迹方程；
（2）直线，若直线与曲线相切于点，与（为坐标原点）平行的直线与曲线 交于不同的两点，，直线与直线交于点,试判断是否存在常数使成立，若存在，求出常数的值，若不存在请说明理由.

【推荐3】在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设是曲线的左焦点，过点的直线与曲线相交于，两点，过，分别作直线的垂线与轴相交于，两点.若，求此时直线的斜率.

【推荐1】设椭圆的左、右焦点分别为、，是上一点，轴，的正切值为.
(1)求的离心率；
(2)过点的直线与交于、两点，若面积的最大值为3，求的方程.

【推荐2】如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当，，成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”

(1)若猫眼曲线过点，且，，的公比为，求猫眼曲线的方程；
(2)对（1）中求出的猫眼曲线，任意作一条斜率为且不过原点的直线与椭圆，均相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，设为坐标原点，直线，的斜率分别为，，求证为定值；
(3)已知的长轴长是，的离心率是，斜率为的直线为椭圆的切线交椭圆于点，为椭圆上的任意一点点与点不重合，求面积的最大值．

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，顺次连接椭圆C：的四个顶点恰好构成一个边长为且面积为4的菱形.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆D：，M为椭圆C上的任意一点，N为椭圆D上任意一点，且，过点M的直线l(l不与x袖垂直)与椭圆D交于A，B网点，求面积的最大值.