双败淘汰制是一种竞赛形式,与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同,参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中,参赛者的数量一般是2的次方数,以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签,两人一组进行对阵,胜者进入胜者组,败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前,胜者组的选手两人一组相互对阵,胜者进入下一轮,败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵;负者组的第一阶段,由之前负者组的选手(不包括本轮胜者组落败的选手)两人一组相互对阵,败者被淘汰(已经败两场),胜者进入第二阶段,分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手,胜者进入下一轮,败者被淘汰.最后一轮,由胜者组最终获胜的选手(此前从未败过,记为)对阵负者组最终获胜的选手(败过一场,记为),若胜则获得冠军,若胜则双方再次对阵,胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制,共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生,之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方,每场对阵没有平局.
(1)设“在第一轮对阵中,甲、乙、丙都不互为对手”为事件,求的概率;
(2)已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为,解决以下问题:
①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率;
②若甲在第一轮获胜,设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量,求的分布列.
(1)设“在第一轮对阵中,甲、乙、丙都不互为对手”为事件,求的概率;
(2)已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为,解决以下问题:
①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率;
②若甲在第一轮获胜,设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量,求的分布列.
更新时间:2021-05-05 19:23:33
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【推荐1】独立事件是一个非常基础但又十分重要的概念,对于理解和应用概率论和统计学至关重要.它的概念最早可以追湖到17世纪的布莱兹·帕斯卡和皮埃尔·德·费马,当时被定义为彼此不相关的事件.19世纪初期,皮埃尔·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理论》中给出了相互独立事件的概率乘法公式.对任意两个事件与,如果成立,则称事件与事件相互独立,简称为独立.
(1)若事件与事件相互独立,证明:与相互独立;
(2)甲、乙两人参加数学节的答题活动,每轮活动由甲、乙各答一题,已知甲每轮答对的概率为,乙每轮答对的概率为.在每轮活动中,甲和乙答对与否互不影响,各轮结果也互不影响,求甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率.
(1)若事件与事件相互独立,证明:与相互独立;
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【推荐2】为了普及垃圾分类知识,某校举行了垃圾分类知识考试.试卷中只有两道题目,已知甲同学答对每题的概率都为,乙同学答对每题的概率都为,且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为,恰有一人答对的概率为.
(1)求和的值;
(2)试求两人共答对3道题的概率.
(1)求和的值;
(2)试求两人共答对3道题的概率.
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【推荐3】九连环是中国传统的有代表性的智力玩具,凝结着中国传统文化,具有极强的趣味性九连环既能练脑又能练手,对开发人的逻辑思维能力及活动手指筋骨大有好处.同时它还可以培养学习工作的专注精神和耐心,实为老少咸宜.据明代杨慎《丹铅总录》记载,曾以玉石为材料制成两个互贯的圆环,“两环互相贯为一,得其关换,解之为二,又合而为一”.后来,以铜或铁代替玉石.甲、乙两位同学进行九连环比赛,每局不存在平局.比赛规则规定,领先3局者获胜.若比赛进行了7局,仍然没有人领先3局,比赛结束,领先者也获胜.已知甲同学每局获胜的概率为,且每局之间相互独立.现比赛已经进行了2局,甲同学2局全输.
(1)由于某种原因,比赛规则改为“五局三胜制”,试判断新规则对谁更有利,并说明理由;
(2)设比赛总局数为,求随机变量的分布列及期望.
(1)由于某种原因,比赛规则改为“五局三胜制”,试判断新规则对谁更有利,并说明理由;
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【推荐1】春节期间,由于高速免费,车流量逐步增加,某高速口统计了5天中的车流量与空气质量指数的关系,所得数据如下表所示:
(1)在下列网格纸中绘制出散点图;
(2)由(1)判断是否能用线性回归模型拟合y与x的关系,并用相关系数加以说明;
(3)记这5天的空气质量指数的平均数为,若从5天中任选2天的数据作调研,求这2天中恰有1天的空气质量指数高于的概率.
参考公式:相关系数.参考数据:,,.
车流量x(万辆) | 12 | 12.5 | 13 | 13.5 | 14 |
空气质量指数y | 74 | 76 | 78 | 77 | 80 |
(2)由(1)判断是否能用线性回归模型拟合y与x的关系,并用相关系数加以说明;
(3)记这5天的空气质量指数的平均数为,若从5天中任选2天的数据作调研,求这2天中恰有1天的空气质量指数高于的概率.
参考公式:相关系数.参考数据:,,.
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【推荐2】2022年初,新冠疫情在辽宁葫芦岛市爆发,市某慈善机构为筹措抗疫资金,在民政部门允许下开设“疫情无情人有情”线上抽奖活动,任何人都可以通过捐款的方式参加线上抽奖.在线上捐款后,屏幕上会弹山抽奖按钮,每次按下按钮后将会随机等可能的出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字中的一个.规定:若出现“利”字,则抽奖结束.否则重复以上操作,最多按4次.获奖规则如下:依次出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字,获一等奖;不按顺序出现这四个字,获二等奖;出现“抗”“疫”“胜”三个字为三等奖.
(1)求获得一、二、三等奖的概率;
(2)设按下按钮次数为,求的分布列和数学期望.
(1)求获得一、二、三等奖的概率;
(2)设按下按钮次数为,求的分布列和数学期望.
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【推荐3】已知某中学高三文科班学生共有人参加了数学与地理的水平测试,现学校决定利用随机数表法从中抽取人进行成绩抽样统计,先将人按进行编号.
(Ⅰ)如果从第行第列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的个人的编号;(下面摘取了第行至第行)
(Ⅱ)抽的人的数学与地理的水平测试成绩如下表:
成绩分为优秀、良好、及格三个等级,横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表中数学成绩为良好的共有人,若在该样本中,数学成绩优秀率为,求的值.
(Ⅲ)将的表示成有序数对,求“在地理成绩为及格的学生中,数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对的概率.
(Ⅰ)如果从第行第列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的个人的编号;(下面摘取了第行至第行)
84 | 42 | 17 | 53 | 31 | 57 | 24 | 55 | 06 | 88 | 77 | 04 | 74 | 47 | 67 |
63 | 01 | 63 | 78 | 59 | 16 | 95 | 56 | 67 | 19 | 98 | 10 | 50 | 71 | 75 |
33 | 21 | 12 | 34 | 29 | 78 | 64 | 56 | 07 | 82 | 52 | 42 | 07 | 44 | 38 |
人数 | 数学 | |||
优秀 | 良好 | 及格 | ||
地 理 | 优秀 | 7 | 20 | 5 |
良好 | 9 | 18 | 6 | |
及格 | 4 |
(Ⅲ)将的表示成有序数对,求“在地理成绩为及格的学生中,数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对的概率.
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【推荐1】人类常见的遗传病类型主要分为单基因遗传病、多基因遗传病和染色体异常遗传病三大类,高度近视(600度以上)、红绿色盲都是较常见的单基因遗传病.某学校课后实践活动对学生这两种遗传病情况进行统计,分别从男、女同学中各随机抽取100人进行调查,对患病情况统计如下,其中“√”表示是,“×”表示否.
(1)分别估计该校男生红绿色盲的发病率和该校女生红绿色盲的发病率;
(2)为做家庭访问,从已调查出患红绿色盲的同学中任选两人,记这两人中男同学人数为,求的分布列及数学期望;
(3)假设该校男生人数为1500,女生人数为2500,试估计该校学生高度近视发病率与该校学生红绿色盲发病率的大小关系,并说明理由.
(注:)
人数 | 男生 | 高度近视 | 红绿色盲 |
3 | √ | × | √ |
2 | √ | √ | × |
1 | √ | √ | √ |
1 | × | × | √ |
2 | × | √ | × |
(2)为做家庭访问,从已调查出患红绿色盲的同学中任选两人,记这两人中男同学人数为,求的分布列及数学期望;
(3)假设该校男生人数为1500,女生人数为2500,试估计该校学生高度近视发病率与该校学生红绿色盲发病率的大小关系,并说明理由.
(注:)
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【推荐2】某中学学生会由8名同学组成,其中一年级有2人,二年级有3人,三年级有3人,现从这8人中任意选取2人参加一项活动.
(1)求这2人来自两个不同年级的概率;
(2)设表示选到三年级学生的人数,求的分布列和数学期望.
(1)求这2人来自两个不同年级的概率;
(2)设表示选到三年级学生的人数,求的分布列和数学期望.
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解题方法
【推荐3】据报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注,为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3000人进行调查,就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计,结果如下表:
已知在全体样本中随机抽取1人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06.
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?
(2)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人,再平均分成两组进行深入交流,求第一组中在校学生人数的分布列和数学期望.
态度 调查人群 | 应该取消 | 应该保留 | 无所谓 |
在校学生 | 2100人 | 120人 | 人 |
社会人士 | 500人 | 人 | 人 |
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?
(2)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人,再平均分成两组进行深入交流,求第一组中在校学生人数的分布列和数学期望.
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【推荐1】2021年元旦甲、乙二人共同投资注册了一家公司.公司经过一年的运营走入正轨,但公司没有盈利也没有亏损.根据大数据,走入正轨后的同类公司共有100家,其中有10家盈利率为20%,50家盈利率为10%,35家盈利率为5%,5家盈利率为-20%.以下用频率代替概率.
(1)若事件A发生的概率不超过5%,则事件A称为小概率事件,在现实中小概率事件可以看作是几乎不可能发生的事件.请预测甲、乙二人的这家公司2022全年不亏损的概率,并对亏损情况作出统计推断;
(2)设甲、乙二人的这家公司2022全年的盈利率为r,请你预测r的平均值及方差;
(3)已知盈利率分别为20%,10%,5%,-20%的公司可以依次评定为A,B,C,D四个等级,某人从以上A,B,C,D四个等级的公司中抽取等级不同的两家,且抽取到的两家互不影响,求这两家公司的盈利率之和不为负的概率.
提示:.
(1)若事件A发生的概率不超过5%,则事件A称为小概率事件,在现实中小概率事件可以看作是几乎不可能发生的事件.请预测甲、乙二人的这家公司2022全年不亏损的概率,并对亏损情况作出统计推断;
(2)设甲、乙二人的这家公司2022全年的盈利率为r,请你预测r的平均值及方差;
(3)已知盈利率分别为20%,10%,5%,-20%的公司可以依次评定为A,B,C,D四个等级,某人从以上A,B,C,D四个等级的公司中抽取等级不同的两家,且抽取到的两家互不影响,求这两家公司的盈利率之和不为负的概率.
提示:.
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解题方法
【推荐2】近年来某村制作的手工艺品在国内外备受欢迎,该村村民成立了手工艺品外销合作社,为严把质量关,合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关,质量把关程序如下:
(ⅰ)若一件手工艺品3位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为A级;
(ⅱ)若3位行家中仅有1位行家认为质量不过关,再由另外2位行家进行第二次质量把关.若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为B级;若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关,则该手工艺品质量为C级;
(ⅲ)若3位行家中有2位或3位行家认为质量不过关,则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为,且各手工艺品质量是否过关相互独立.
(1)求一件手工艺品质量为B级的概率;
(2)求81件手工艺品中,质量为C级的手工艺品件数的方差;
(3)求10件手工艺品中,质量为D级的手工艺品最有可能是多少件?
(ⅰ)若一件手工艺品3位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为A级;
(ⅱ)若3位行家中仅有1位行家认为质量不过关,再由另外2位行家进行第二次质量把关.若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为B级;若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关,则该手工艺品质量为C级;
(ⅲ)若3位行家中有2位或3位行家认为质量不过关,则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为,且各手工艺品质量是否过关相互独立.
(1)求一件手工艺品质量为B级的概率;
(2)求81件手工艺品中,质量为C级的手工艺品件数的方差;
(3)求10件手工艺品中,质量为D级的手工艺品最有可能是多少件?
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