【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为，且点 在椭圆C上．

求椭圆C的方程；
设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．

【推荐2】已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线截抛物线所得的弦长为.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)过点的直线与交于两点，点关于轴的对称点为，证明：直线恒过一定点.

【推荐3】如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用圆形纸片按如下步骤折纸：

步骤1：设圆心是O，在圆内（除去圆心）取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过F；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．
这些折痕围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心O的距离为2，按上述方法折纸，如图所示．

(1)以FO所在的直线为x轴，FO的中点M为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)求经过点F，且与直线FO夹角为的直线交椭圆于C，D两点，求的面积．

【推荐1】已知椭圆的方程为，直线与椭圆交于两点，，
（1）求的值；
（2）求三角形的面积．

【推荐2】已知椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的斜率为，直线与椭圆C交于两点．点为椭圆上一点，求的面积的最大值．

【推荐3】已知圆：过椭圆：的短轴端点，分别是圆与椭圆上任意两点，且线段长度的最大值为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作圆的一条切线交椭圆于两点，求的面积的最大值.

【推荐1】已知点在圆：上运动，过点作轴的垂线段，为垂足，动点满足.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点的动直线与曲线交于，两点，与圆交于，两点.求的最大值.

【推荐2】已知椭圆的右焦点的坐标为，左焦点为，且椭圆上的点与两个焦点，所构成的三角形的面积的最大值为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，已知，两点是位于轴同侧的椭圆上的两点，且直线，的斜率之和为0，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.
（1）证明：当取得最小值时，椭圆的短轴长为.
（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐1】设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知直线与曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点.

【推荐3】平面内，动点到的距离与它到直线的距离之比为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过的直线与相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过轴上一定点.