【推荐1】如图，在三棱柱中，侧面底面，，，分别为棱的中点

（1）求三棱柱的体积；
（2）在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

【推荐2】某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.

(1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的.

【推荐3】如图，四棱柱的底面ABCD为矩形，，M为BC中点，平面，且．

（1）证明：．
（2）若此四棱柱的体积为2求二面角的正弦值．

【推荐1】如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，，点､分别是､的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）当时，求多面体的体积.

【推荐2】如图，AB是圆柱的一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O上一点．已知，

(1)求该圆柱的表面积；
(2)将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．

【推荐3】如图，在四棱锥中，平面， 底面是矩形，，，分别是，的中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设， 求三棱锥的体积.

【推荐1】如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，，，，，，．设分别为的中点．证明：.

【推荐2】如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，，，为棱的中点，为棱的动点.

（1）求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求点的位置.

【推荐3】如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求，，求直线与面所成角的正弦值.