【推荐1】若，平面内一点满足，则的最大值为_________.

【推荐2】在平面直角坐标系中，点是单位圆上第一象限内的点，，若，则的值为______．

【推荐3】若、，，，则________.

【推荐1】四边形中，，，是四边形的外接圆的直径，则______.

【推荐2】在中，，若，则的最大值是____________．

【推荐3】正的边长为2，D为BC边的中点，则的模等于_________．

【推荐1】若是夹角为的单位向量，向量，且，则__________．（用弧度制表示）

【推荐2】已知平面向量满足，则向量与夹角的最大值是__________．

【推荐3】已知非零向量满足，且，则向量与的夹角为__________.

【推荐1】关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种v变换和4种w变换
：模变为原来的倍，同时逆时针旋转90°；
：模变为原来的倍，同时顺时针旋转90°；
：模变为原来的倍，同时逆时针旋转45°；
：模变为原来的倍，同时顺时针旋转45°；
：模变为原来的倍，同时逆时针旋转135°；
：模变为原来的倍，同时顺时针旋转135°．
记集合，若每次从集合S中随机抽取一种变换.经过n次抽取，依次将第i次抽取的变换记为，即可得到一个n维有序变换序列，记为，则以下判断中正确的序号是______．
①单位向量经过2022次v变换后所得向量一定与向量垂直；
②单位向量经过2022次w变换后所得向量一定与向量平行；
③单位向量经过变换后得到向量，则中有且只有2个v变换；
④单位向量经过变换后不可能得到向量；
⑤存在n，使得单位向量经过次变换后，得到．

【推荐2】已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为___________.

【推荐3】定义：，其中为向量与的夹角，若，，则等于_____.