【推荐1】如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为______

【推荐2】已知点P是双曲线左支上一点，是双曲线的左右两个焦点，且，线段的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为_________.

【推荐3】设双曲线的左、右焦点分别是、，过的直线与的左支交于、两点，若是以为底边的等腰三角形，且，则双曲线的离心率是________．

【推荐1】双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为______．

【推荐2】祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且过点，则双曲线方程为___________；若直线，在第一象限内与及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为___________

【推荐3】如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为180米，水平方向上塔身最窄处的半径为30米，最高处塔口半径为米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为__________．

【推荐1】在平面直角坐标系中，以直线为渐近线，且经过椭圆右顶点的双曲线的方程是________________.

【推荐2】已知双曲线的一条渐近线方程为则_______．

【推荐3】过双曲线：的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于．若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过、两点（为坐标原点），则双曲线的方程为__________．

【推荐1】已知是双曲线的右顶点，点在上，为的左焦点，若的面积为，则的离心率为__________．

【推荐2】设、是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，则的面积为______．

【推荐3】已知是双曲线上的一点,是双曲线的两个焦点，且,则_____ ，_____