【推荐1】已知球的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，则该四棱锥的高为________.

【推荐2】古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面（包括边界）上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为___________；若是的中点，且正方体的表面（包括边界）上的动点满足条件，则三棱锥体积的最大值是__________．

【推荐3】已知点，，，均在半径为的球面上，是等边三角形，平面，则四面体体积的最大值为__________.

【推荐2】如图，在正方体中，为棱的中点.动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论：
   
（1）存在点，使得；（2）存在点，使得平面；（3）的面积越来越小；（4）四面体的体积不变. 其中所有正确的结论的序号是__________.

【推荐3】在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________.

【推荐1】如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论:

①当点是中点时，直线平面；
②直线到平面的距离是；
③存在点，使得；
④面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是 _______．

【推荐2】如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），以下正确的是______

   

①；

②存在点，使得//面；

③的最小值为；

④存在点，使得与面所成线面角的余弦值为.

【推荐3】如图，在长方体中，，动点分别在线段和上．给出下列四个结论：

①四面体的体积为；
②可能是等边三角形；
③当时，；
④有且仅有两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形．
其中所有正确结论的序号是__________．

【推荐1】如图，在四棱锥中，，，，，平面，则异面直线与之间的距离为______.
   

【推荐2】如图，在中，，过中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________.