【推荐1】某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如图所示，A，B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过点O的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足接收到点A的信号比接收到点B的信号晚一秒（注：信号每秒传播米）．在时，测得机器鼠距离点O为4米.

(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图)，求时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动:时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？

【推荐2】如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程.

【推荐3】如图，在中，已知，且三内角满足：，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.       
   

【推荐1】已知双曲线，点，直线与双曲线C交于不同的两点.
(1)若的重心在直线上，求k的值；
(2)若直线过双曲线C的右焦点F，且直线的斜率之积是，求的面积.

【推荐2】已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.

【推荐3】过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积.