【推荐1】如图，某市建有贯穿东西和南北的两条垂直公路，，在它们交叉路口点处的东北方向建有一个荷花池，荷花池的外围是一条环形公路，荷花池中的固定观景台位于两条垂直公路的角平分线上，与环形公路的交点记作．游客游览荷花池时，需沿公路先到达环形公路处.为了分流游客，方便游客游览荷花池，计划从靠近公路，的环形公路上选，两处（，关于直线对称）修建直达观景台的玻璃栈道，．以，所在的直线为，轴建立平面直角坐标系，靠近公路，的环形公路可用曲线近似表示，曲线符合函数．

（1）若百米，点到的垂直距离为1百米，求玻璃栈道的总长度；
（2）若要使得玻璃栈道的总长度最小为百米，求观景台的位置．

【推荐2】如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．

(1)已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度（其中，，，求函数解析式及2023min时点P距离地面的高度；
(2)当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？

【推荐3】购买一件售价为5 000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付款一次，如此下去，到第12次付款后全部付清．如果月利率为0.8%，每月利息按复利计算(上月利息计入下月本金)，那么每期应付款多少元？(精确到1元)

【推荐2】将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为123456789101112，共15个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
（1）求；
（2）当时，求的表达式；
（3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，，，求当时的最大值．

【推荐3】股票市场的前身是起源于1602年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖，而正规的股票市场最早出现在美国．2017年2月26号，中国证监会主席谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心．最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财．现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：
（1）投资股市：

投资结果	获利	不赔不赚	亏损
概率

（2）购买基金：

投资结果	获利	不赔不赚	亏损
概率

（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求的取值范围；
（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．

【推荐1】2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
①试证明为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．

【推荐2】个人所得税起征点是个人所得税工薪所得减除费用标准或免征额，个税起征点与个人税负高低的关系最为直接，因此成为广大工薪阶层关注的焦点.随着我国人民收入的逐步增加，国家税务总局综合考虑人民群众消费支出水平增长等各方面因素，规定从2019年1月1日起，我国实施个税新政.实施的个税新政主要内容包括: ①个税起征点为元②每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除; ③专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下:

	旧个税税率表(个税起征点元)		新个税税率表(个税起征点元)
缴税级数	每月应纳税所得额(含税) 收入个税起征点	税率/%	每月应纳税所得额(含税）收入个税起征点专项附加扣除	税率/%
1	不超过元		不超过元
2	部分超过元至元部分		部分超过元至元部分
3	超过元至元的部分		超过元至元的部分
4	超过元至元的部分		超过元至元的部分
5	超过元至元部分		超过元至元部分
···	···	···	···

随机抽取某市名同一收入层级的无亲属关系的男性互联网从业者(以下互联网从业者都是指无亲属关系的男性)的相关资料，经统计分析，预估他们2022年的人均月收入为元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除，同时他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是.此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:住房元/月，子女教育每孩元/月，赡养老人元/月等.假设该市该收入层级的互联网从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的互联网从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决下列问题.
（1）按新个税方案，设该市该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为元，求的分布列和数学期望;
（2）根据新旧个税方案，估计从2022年1月开始，经过几个月，该市该收入层级的互联网从业者各月少缴的个税之和就能购买一台价值为元的华为智慧屏巨幕电视?

【推荐1】甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗．一局比赛后输者需给赢者一面小红旗；若是平局不需要给红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6面小红旗者最终获胜．根据以往的两人比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为0.5，乙胜的概率为0.4．
(1)若第一局比赛后甲的红旗个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)若比赛一共进行五局，求第一局是乙胜的条件下，甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）；
(3)记甲获得红旗为面时最终甲获胜的概率为，，，证明：为等比数列．

【推荐2】某厂计划购买台机床，该种机床使用四年后即被淘汰，并且在使用过程中机床有一易损零件，若在购进机床同时额外购买这种易损零件作为备用件，此时每个只需元．在使用期间如果备件不足再购买，则每个要元．所以在购买前要决策购买数目．使得该厂购买机床时搭配的易损备用零件费用最省．为此业内相关人员先搜集了台以往这种机床在四年内更换的易损零件数，并整理数据后得如下柱状图．

以这台机床更换的易损零件数的频率代替每台机床更换的易损零件数发生的概率．记表示台机床四年内实际共需更换的易损零件数，表示购买台机床的同时备用的易损零件数目，为购买机床时备用件数发生的概率．
（1）求时的最小值；
（2）求的分布列及备用的易损零件数时的数学期望；
（3）将购买的机床分配给名年龄不同（视技术水平不同）的人加工一批模具，因熟练程度不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同．若用变量表示不同技工的年龄，变量为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的每日工作效益满足最小二乘法和关于的线性回归方程，已知他们年龄的方差为，所对应的效益方差为.
①试预测年龄为岁的技工使用该机床每日所产生的经济效益；
②试根据的值判断使用该批机床的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱．
附：下面三个计算回归直线方程的斜率和截距及表示随机变量与相关关系强弱的系数计算公式：，.

【推荐3】中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.
（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：

月份x	1	2	3	4	5
体重超重的人数y	640	540	420	300	200

若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？
（2）在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由C队员控制时，传给A队员的概率为，传给B队员的概率为.记，，为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.
（i）若，B队员控制球的次数为X，求；
（ii）若，，，，，证明：为等比数列，并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与的大小.
附1：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；.
附2：参考数据：，.