【推荐1】下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是________．

【推荐2】点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题：

①三棱锥的体积不变；
②∥平面；
③；
④平面平面.
其中正确的命题序号是_______________

【推荐3】正三棱锥的高为为中点，过作与棱平行的平面，将三棱锥分为上下两部分，设上､下两部分的体积分别为，则__________.

【推荐1】已知直三棱柱的侧棱长为2，，，过，的中点，作平面与平面垂直，则所得截面周长为___________．

【推荐2】已知四面体ABCD(图1)，将其沿AB，AC，AD剪开，展成的平面图形正好是图2所示的直角梯形A₁A₂A₃D(梯形的顶点A₁，A₂，A₃重合于四面体的顶点A)，A₁D=10，A₁A₂=8，则四面体ABCD的体积为________.

【推荐3】正方体中，平面和平面是否垂直？_________

【推荐1】直线与平面所成的角为，则直线与平面内直线所成角的最小值是________．

【推荐2】2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足，平面ABC，，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为_________.

【推荐3】在三棱锥中，平面，，，则为______.