【推荐1】已知双曲线与抛物线有共同的焦点F，双曲线C与抛物线E交于A，B两点，且（O为坐标原点）．
(1)求双曲线C的离心率．
(2)过F的直线（斜率存在）与双曲线的右支交于M，N两点，MN的垂直平分线交x轴于P，证明：．

【推荐2】某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，选择适当的平面直角坐标系.

(1)求此双曲线的方程；
(2)定义：以（1）中求出的双曲线的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线叫做的共轭双曲线，求双曲线的方程；
(3)对于（2）中的双曲线､的离心率分别为､，写出与满足的一个关系式，并证明.

【推荐3】求双曲线x²－8y²＝32的实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

【推荐1】在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形)，其中矩形的三边、、由长6分米的材料弯折而成，边的长为分米 ()；曲线拟从以下两种曲线中选择一种：曲线是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为)，此时记门的最高点到边的距离为；曲线是一段抛物线，其焦点到准线的距离为，此时记门的最高点到边的距离为.

（1）试分别求出函数、的表达式；
（2）要使得点到边的距离最大，应选用哪一种曲线？此时，最大值是多少？

【推荐2】已知动直线：恒过定点，且点在抛物线：上.
（1）求点到抛物线的准线的距离；
（2）将曲线沿轴向上平移1个单位长度得到曲线，若点在曲线上，且在曲线上存在，，三点，使得四边形为平行四边形，求平行四边形的面积的最小值.

【推荐3】已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B两点，当时，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线与抛物线C交于M，N两点，证明：由直线，直线及y轴围成的三角形为等腰三角形.

【推荐1】如图所示，已知抛物线x²＝4y的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，A在y轴左侧且AB的斜率大于0．

(1)当直线AB的斜率为1时，求弦长|AB|的长度；
(2)点P（x₀，0）在x轴正半轴上，连接PA，PB分别交抛物线于C，D，若AB∥CD且|AB|＝3|CD|，求x₀．

【推荐2】如图，过抛物线的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时，

(1)求C的方程;
(2)以AB为直径的圆能否经过坐标原点若能，求出直线AB的方程;若不能，请说明理由.

【推荐3】已知抛物线，直线（）与交于两点，为的中点，为坐标原点．
（1）求直线斜率的最大值；
（2）若点在直线上，且为等边三角形，求点的坐标．