【推荐1】如图所示，在平面四边形中，.

(1)求的值；
(2)将四边形绕着边所在的直线旋转一周所形成的几何体为，求的体积.

【推荐2】如图，在直角梯形中，，，，．将（及其内部）绕所在的直线旋转一周，形成一个几何体．

（1）求该几何体的体积；
（2）设直角梯形绕底边所在的直线旋转角（）至，问：是否存在，使得．若存在，求角的值，若不存在，请说明理由．

【推荐3】正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.

（1）求新多面体的体积；
（2）求正八面体中二面角的余弦值；
（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）

【推荐1】如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点是的中点，点在底面上的射影为点，点在棱上，且四棱锥的体积为.

（1）若点是的中点，求证:平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

【推荐2】在矩形中（图1），，为线段上的一点且，将沿折起，得到四棱锥（图2），且．

（1）若点为上的三等分点且，求证：平面；
（2）求证：平面平面．

【推荐3】如图，矩形所在平面垂直于三角形所在平面，,，又分别是和的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求异面直线与所成的角.