【推荐1】已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，设点A为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线
（1）求曲线的方程，
（2）直线与直线垂直且与曲线C交于B、D两点，求面积的最大值．

【推荐2】在平面直角坐标系中，动点，的轨迹与直线交于，两点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)已知点，使得对于任意实数总有，求的值并说明理由.

【推荐3】在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点O的两个不同的动点A、B满足．
(1)求的重心G的轨迹方程；
(2)的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，已知椭圆：的一个焦点为F（1，0），且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若为垂直于轴的动弦，直线：与轴交于点，直线与 交于点．求面积的最大值．

【推荐2】已知椭圆，其长轴为，离心率为，过椭圆上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴的交点分别为､.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最小值.

【推荐3】我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为．
(1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值；
(2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值；
(3)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为求证：的垂心必在椭圆上．

【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长与短轴长之比为2，点是椭圆上的一动点，直线与椭圆的另一交点为，的周长为16．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，若，．证明：为定值．

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于点、，直线、分别与轴交于点、.
（1）若，求点的横坐标；
（2）设直线、的斜率分别为、，求的值.

【推荐3】设椭圆的左、右焦点分别为，离心率，长轴为4，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，其中为坐标原点，求直线的斜率；
(3)若是椭圆经过原点的弦，且，判断是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由．