【推荐1】如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直，椭圆的离心率，为椭圆的左焦点，且.

(1)求此椭圆的方程；
(2)设是此椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得连接并延长交直线于点为的中点，判定直线与以为直径的圆的位置关系.

【推荐2】已知A，B是椭圆的左、右顶点，C为E的上顶点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若M，N，P是椭圆E上不同的三点，且坐标原点O为的重心，试探究的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

【推荐3】已知是椭圆上一点，A、B为长轴的两个端点，P为椭圆上异于A、B的任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为．动直线l与E相交于M，N两点．

（1）求E的方程；
（2）若为弦MN的中点，求直线l的方程；
（3）若直线l过点，求面积的最大值．

【推荐1】已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，直线被双曲线所截得的弦长为6．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，求证：以为直径的圆恒过轴上的定点，并求此定点坐标．

【推荐2】已知双曲线过点，且渐近线方程为，直线与曲线交于点、两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线过原点，点是曲线上任一点，直线，的斜率都存在，记为、，试探究的值是否与点及直线有关，并证明你的结论；
（3）若直线过点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.

【推荐3】已知双曲线的两条渐近线方程为，且左焦点到一条渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)过的直线与交于、两点，且，若点满足，证明：在一条定直线上．

【推荐1】已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ.
(1)请从以下两个条件中选择一个，求对应的的方程.①已知点，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为；②设是圆上的动点，过作直线垂直于轴，垂足为，且.
(2)在（1）的条件下，设曲线的左､右两个顶点分别为，若过点的直线的斜率存在且不为0，设直线交曲线于点，直线过点且与轴垂直，直线交直线于点，直线交直线于点，则线段的比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【推荐2】已知、是中心为点的椭圆的两条相交弦，交点为，两弦与椭圆长轴的夹角分别为、，且，求证：.

【推荐1】已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且．
(1)求的标准方程．
(2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：
（ⅰ）的斜率之积为定值；
（ⅱ）存在定点，使得关于点对称．

【推荐2】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线上的点，且的面积为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为坐标原点，动直线，为双曲线的两条切线，且，过作，的垂线，垂足分别为，求证：．

【推荐3】已知双曲线，焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线的左､右顶点分别为，直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线斜率为，直线斜率为，过原点做直线的垂线，垂足为，当为定值时，问是否存在定点，使得为定值，若存在，求此定点.若不存在，请说明理由.