【推荐1】已知抛物线的焦点F是椭圆的右焦点，抛物线C与椭圆E在第一象限的交点P的横坐标为，．
(1)求抛物线C与椭圆E的标准方程；
(2)若，分别是椭圆E的左、右顶点，M，N是椭圆E上不同于，的两点，直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线MN过定点．

【推荐2】已知椭圆与抛物线的一个交点为，且抛物线向右平移个单位后的焦点与椭圆的焦点重合．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设、为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点，设点，且，求面积的最大值．

【推荐3】已知椭圆的上顶点、右焦点分别为为坐标原点，且是面积为2的等腰直角三角形.
(1)求C的方程；
(2)设A，B是C上的两个动点，且以为直径的圆经过点O，证明：为定值.

【推荐1】已知椭圆C：的离心率为，F₁，F₂分别是椭圆的左，右焦点，P是椭圆C上一点，且△PF₁F₂的周长是6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为的直线交x轴于T点，交曲线C于A，B两点，是否存在使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆上的点到其右焦点的最短距离为，且与短轴的两个端点是同一个正三角形的顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上互异的三点，且两点连线过坐标原点，记直线的斜率分别为.
（i）证明: 的值为常数；
（ii）若为椭圆的左顶点，直线与直线交于点，直线与椭圆交于点，试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由.