【推荐1】正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世届上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体

(1)求新多面体的体积；
(2)求二面角的余弦值．

【推荐2】如图，已知四棱锥的底面为边长为的菱形，为中点，连接.

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面平面，且二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.

【推荐3】如图，和所在平面互相垂直，且，，、、分别为、、的中点．

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．

【推荐1】如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．

(1)求证：平面BDE；
(2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
(3)求点D到平面ABE的距离．

【推荐2】如图，在正方体中，棱长为分别是的中点.
   
(1)证明：.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【推荐3】如图，在四棱台中，底面是菱形，，梯形底面，.设为的中点.

(1)求证：平面；
(2)上是否存在一点，使得与平面所成角余弦为，请说明理由.