【推荐1】已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线过点，且与轨迹交于，两点，点满足，点为坐标原点，延长线段与轨迹交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的方程，若不能，说明理由．

【推荐2】在①离心率，②椭圆过点，③为椭圆上一点，面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.设椭圆的左、右焦点分别为、，已知椭圆的短轴长为，______.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交椭圆于、两点，请问的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆与直线相交于两点，椭圆上一动点，满足（其中表示两点连线的斜率），且为椭圆的左、右焦点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，求的内切圆面积的最大值．

【推荐1】如图，已知椭圆的离心率为，F为椭圆C的右焦点，，.

(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M，直线OM与直线交于点D，过O且平行于AP的直线与直线交于点E.求证：.

【推荐2】过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，为其左焦点，已知的周长为，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线相交于不同的两点M、，当时，求实数m的值．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点F在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；
(2)设P是上的动点，且位于第一象限，在点Р处的切线l与交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标.

【推荐1】已知动圆经过定点，且与圆：内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

【推荐2】已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，其左右顶点分别为为椭圆的短轴端点，且.

(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆上异于的任意一点，设直线与直线交于点，过作直线的垂线交椭圆于两点.
（i）设直线与的斜率分别为，证明：为定值，并求出该定值；
（ii）求（为坐标原点）面积的最大值.

【推荐3】已知分别为椭圆的左右焦点.
（1）当时，点为椭圆上一点且位于第一象限，若，求点的坐标；
（2）当椭圆焦距为2时，直线交椭圆交于两点，且，判断的面积是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.