【推荐1】2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特效治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者､疑似的新冠肺炎患者､无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户､不漏一人，在排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则___________.

【推荐2】当时，函数的最小值为___________，最大值为___________.

【推荐3】函数的最小值为______.

【推荐1】用长为24的钢条围成一个长方体框架，要求长方体的长与宽之比为31，则长方体的宽为_____时，其体积最大.

【推荐2】如图，某款酒杯的上半部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，当放置的圆柱形冰块的体积最大时，其高度为__________．

【推荐3】在正四棱锥内有一半球，其底面与正四棱锥的底面重合，且与正四棱锥的四个侧面相切，若半球的半径为，则当正四棱锥的体积最小时，其高等于_________．