【推荐1】已知椭圆的长轴长为，点在上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为、，过定点的直线与椭圆交于、两点（异于点、），试探究直线、的交点的横坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

【推荐2】已知椭圆C：的离心率，设，，，其中A，B两点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P的直线交椭圆C于M，N两点（M在线段AB上方），在AN上取一点H，连接MH交线段AB于T，若T为MH的中点，证明：直线MH的斜率为定值．

【推荐3】设椭圆：，，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线，交于M，N两点，为坐标原点，记，的面积分别为，，求的最小值．

【推荐1】已知椭圆C：的离心率为，长轴长为6，上下顶点分别为A，B，过点的直线交椭圆C于E，F两点（不同于A，B两点）．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AF与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上．

【推荐2】已知椭圆：的左焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率存在且不为0的直线，交椭圆于A，两点，点，且为定值．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的值．

【推荐3】已知椭圆C：的离心率，短轴长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知经过定点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线相交于点Q，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，过椭圆左焦点的直线交于，两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.

【推荐2】已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与，轴的交点，

（1）若三角形是边长为的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若，求的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知圆，点P是圆C上的动点，点是圆C内一点，线段的垂直平分线交于点Q，当点P在圆C上运动时点Q的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)设M，N是曲线E上的两点，直线与曲线相切.证明：当时，三点共线.