某学校为了了解高一学生安全知识水平,对高一学生进行“消防安全知识测试”,并且规定测试成绩小于60分的为“不合格”,否则为“合格”.若该年级“不合格”的人数不超过总人数的,则该年级知识“达标”;否则该年级知识“不达标”,需要重新对该年级学生进行消防安全培训.现从全体高一学生中随机抽取10名,经统计得,10名学生的平均成绩为74分,标准差为7.
(1)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布.将上述10名学生的成绩作为样本,用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值.利用估计值估计:高一学生知识是否“达标”?
(2)已知知识测试中的多项选择题中,有4个选项.小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则:全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.这样,小明在做多项选择题时,可能选择一个选项,也可能选择两个或三个选项,但不会选择四个选项.假设小明在做某道多项选择题时,基于已有的解题经验,他选择一个选项的概率为,选择两个选项的概率为,选择三个选项的概率为.已知该道多项选择题只有两个正确选项,小明完全不知道四个选项的正误,只好根据自己的经验随机选择.记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数,求的分布列及数学期望.
附:若随机变量服从正态分布,则,,.
(1)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布.将上述10名学生的成绩作为样本,用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值.利用估计值估计:高一学生知识是否“达标”?
(2)已知知识测试中的多项选择题中,有4个选项.小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则:全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.这样,小明在做多项选择题时,可能选择一个选项,也可能选择两个或三个选项,但不会选择四个选项.假设小明在做某道多项选择题时,基于已有的解题经验,他选择一个选项的概率为,选择两个选项的概率为,选择三个选项的概率为.已知该道多项选择题只有两个正确选项,小明完全不知道四个选项的正误,只好根据自己的经验随机选择.记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数,求的分布列及数学期望.
附:若随机变量服从正态分布,则,,.
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(已下线)2024年全国高考名校名师联席命制数学(理)信息卷(五)
更新时间:2024-01-03 08:30:51
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适中
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解题方法
【推荐1】甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试,至少答对2题才算合格.
(1)设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为、,写出随机变量、的分布列;
(2)分别求甲、乙两人考试合格的概率;
(3)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
(1)设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为、,写出随机变量、的分布列;
(2)分别求甲、乙两人考试合格的概率;
(3)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
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解答题-问答题
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适中
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名校
解题方法
【推荐2】为普及航天知识,某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏,规则如下:不透明的口袋中有3个白球,2个红球,这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球,将其中的白球个数记为该轮得分X,记录完得分后,将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏,且其前n轮的累计得分恰好为2n时,游戏过关,可领取纪念品,同时游戏结束,否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关,则游戏也结束.每位参与者只能参加一次游戏.
(1)求随机变量X的分布列及数学期望;
(2)若甲参加该项游戏,求甲能够领到纪念品的概率.
(1)求随机变量X的分布列及数学期望;
(2)若甲参加该项游戏,求甲能够领到纪念品的概率.
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解答题-问答题
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适中
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名校
解题方法
【推荐1】我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产.试产该款芯片共有三道工序,前两道生产工序互不影响,第三道是检测评估工序,包括自动智能检测和人工抽检.已知前两道生产工序的次品率分别为,.
(1)求该款芯片的次品率;
(2)第三道工序中自动智能检测为次品的芯片会被自动淘汰;否则,进入流水线进行人工抽检.已知该款芯片自动智能检测显示合格率为98%,求人工抽检时,抽检的一个芯片恰是合格品的概率.
(1)求该款芯片的次品率;
(2)第三道工序中自动智能检测为次品的芯片会被自动淘汰;否则,进入流水线进行人工抽检.已知该款芯片自动智能检测显示合格率为98%,求人工抽检时,抽检的一个芯片恰是合格品的概率.
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解答题-应用题
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解题方法
【推荐2】2022世界乒乓球团体锦标赛已于2022年9月30日至10月9日在成都举行.近年来,乒乓球运动早已成为我国民众喜爱的运动之一.某次友谊赛,甲、乙两位选手进行比赛,比赛采用5局3胜制,若结果是3:0或3:1,则胜者得3分,负者得0分﹔若结果是3:2,则胜者得2分,负者得1分.根据以往经验,甲乙在一局比赛获胜的概率分别为,,且每局比赛结果相互独立
(1)设甲所得积分为,求的分布列及数学期望;
(2)由于某种原因,比赛规则改为未满5局已领先2局者获胜﹔若打满5局,仍然没有领先2局者,比赛结束,领先者也获胜,求甲获胜的概率.
(1)设甲所得积分为,求的分布列及数学期望;
(2)由于某种原因,比赛规则改为未满5局已领先2局者获胜﹔若打满5局,仍然没有领先2局者,比赛结束,领先者也获胜,求甲获胜的概率.
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
【推荐3】某娱乐节目闯关游戏共有三关,游戏规则如下,选手依次参加第一,二,三关,闯关成功可获得的奖金分别为1000元、2000元、3000元.奖金可累加,若某关闯关成功,选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金,也可以选择继续闯关,若有任何一关闯关失败,则连同前面所得奖金全部归零,闯关游戏结束.选手小刘参加闯关游戏,已知他第一,二,三关闯关成功的概率分别为,,.第一关闯关成功选择继续闯关的概率为,第二关闯关成功选择继续闯关的概率为,且每关闯关成功与否互不影响.
(1)求小刘第一关闯关成功,但所得总奖金为零的概率;
(2)设小刘所得奖金为X,求随机变量X的分布列及数学期望.
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解答题-问答题
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【推荐1】西安市某中学在每年的11月份都会举行“文化艺术节”,开幕式当天组织举行大型的文艺表演,同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示.其中有的社长是高中学生,的社长是初中学生,高中社长中有是高一学生,初中社长中有是初二学生.
(Ⅰ)若校园电视台记者随机采访3位社长,求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率;
(Ⅱ)若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长,设初二学生人数为,求的分布列及数学期望.
(Ⅰ)若校园电视台记者随机采访3位社长,求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率;
(Ⅱ)若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长,设初二学生人数为,求的分布列及数学期望.
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解答题-问答题
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适中
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解题方法
【推荐2】已知盒子里有3个黑球,2个白球,甲、乙两人依次轮流从中有放回地摸1个球,每人摸球2次.规则如下:甲先摸球,若摸出黑球,得2分,否则得1分;再由乙第一次摸球,若摸出黑球,其得分在甲第一次得分的基础上加1分,否则得1分;再由甲第二次摸球,若摸出黑球,其得分在乙第一次得分的基础上加1分,否则得1分;最后乙第二次摸球,摸出黑球,其得分在甲第二次得分的基础上加1分,否则得1分.
(1)求乙累计得分超过2分的概率;
(2)记为甲第二次摸球的得分,求的分布列与期望.
(1)求乙累计得分超过2分的概率;
(2)记为甲第二次摸球的得分,求的分布列与期望.
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
名校
【推荐3】某乡村中学教师资源薄弱,多数教师都在超负荷工作,为了体现按劳分配的原则,鼓励教师在力所能及的范围内多带课,学校计划把绩效工资根据教师每周代课的节数进行重新分配.每周课时量(仅是上课节数,不包括班主任工作)在区间内为满工作量;在内为超工作量;为严重超工作量.为了了解本校教师的代课情况,通过简单随机抽样,获得了名教师的代课情况统计表如下:
(1)在计算教师一周总的课时津贴时(备注:本校全体教师的课时都不小于节课),课时量介于内部分,按元/节计算课时津贴;课时量介于内部分,按元/节计算课时津贴;课时量介于 内部分,按元/节计算课时津贴,试求教师一周总的课时津贴与总的课时量之间的函数关系;
(2)现要在这名教师中任意选取名,求取到超工作量(课时节数在内)的教师人数的分布列与期望;
(3)用抽到的名教师样本估计全校教师的代课情况,用频率代替概率.现在从全校教师中随机抽取名教师,若抽到名教师周代课量为满工作量(课时节数在内)的可能性最大,求的值.
教师编号 | ||||||||||
代课量(节) |
(2)现要在这名教师中任意选取名,求取到超工作量(课时节数在内)的教师人数的分布列与期望;
(3)用抽到的名教师样本估计全校教师的代课情况,用频率代替概率.现在从全校教师中随机抽取名教师,若抽到名教师周代课量为满工作量(课时节数在内)的可能性最大,求的值.
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解答题-应用题
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适中
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名校
【推荐1】某省2023年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中,物理、历史这两门科目采用原始分计分:思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分,将每科考生的原始分从高到低划分为A、B,C,D,E共5个等级,各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%,并按给定的公式进行转换赋分.该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试,并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.
(1)其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生,其原始分及转换赋分如表:
现从这10名学生中随机抽取3人,设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X,求X的分布列和数学期望:
(2)假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布.现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分,后经调查发现其中有一名学生舞弊,剔除掉这名学生成绩后,记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数,预测当取得最大值时k的值.
附,若,则,.
(1)其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生,其原始分及转换赋分如表:
原始分 | 97 | 95 | 91 | 90 | 89 | 87 | 85 | 84 | 84 | 83 |
赋分 | 99 | 97 | 95 | 95 | 94 | 92 | 91 | 90 | 90 | 90 |
(2)假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布.现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分,后经调查发现其中有一名学生舞弊,剔除掉这名学生成绩后,记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数,预测当取得最大值时k的值.
附,若,则,.
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解答题
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适中
(0.65)
【推荐2】某食品店为了了解气温对某食品销售量的影响,记录了该店1月份中某5天的日销售量(单位:千克)与该地当日最低气温(单位:)的数据,如下表:
(1)求与之间的线性回归方程,并预测最低气温为时的日销售量;
(2)设该地1月份的日最低气温,其中近似为样本平均数,近似为样本方差,试求.
附:①,;
②,,若,则,,.
2 | 5 | 8 | 9 | 11 | |
12 | 10 | 8 | 8 | 7 |
(2)设该地1月份的日最低气温,其中近似为样本平均数,近似为样本方差,试求.
附:①,;
②,,若,则,,.
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解答题-应用题
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适中
(0.65)
名校
解题方法
【推荐3】某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准,为估算其经济效益,该厂先进行了试生产,并从中随机抽取了100件该产品,统计了每个产品的质量指标值k,并分成以下5组,其统计结果如下表所示:
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布,并解决下列问题:(注:每组数据取区间的中点值)
(1)由频率分布表可认为,该产品的质量指标值k近似地服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本的标准差s,并已求得,记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数,求及X的数学期望(精确到0.001);
(2)已知每个产品的质量指标值k与利润y(单位:万元)的关系如下表所示
假定该厂所生产的该产品都能销售出去,且这一年的总投资为500万元,问:该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资?试说明理由.
参考数据:若随机变量,则,.
质量指标值 | |||||
频数 | 16 | 30 | 40 | 10 | 4 |
(1)由频率分布表可认为,该产品的质量指标值k近似地服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本的标准差s,并已求得,记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数,求及X的数学期望(精确到0.001);
(2)已知每个产品的质量指标值k与利润y(单位:万元)的关系如下表所示
质量指标值k | |||||
利润y | t |
参考数据:若随机变量,则,.
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