【推荐1】如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为 ，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．

【推荐2】已知椭圆，焦距为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知､､C为椭圆上三点，且原点O为的重心，求的面积.

【推荐3】如图，椭圆：和圆：，已知椭圆的短轴长为长轴长的一半，且圆的周长为，椭圆的下顶点为E，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线l与圆相交于点A､B，直线EA､EB与椭圆的另一个交点分别是点P､M.

(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值.

【推荐1】在同一平面直角坐标系中，圆经过伸缩变换后，得到曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，连接并延长与曲线相交于点，且.求面积的最大值.

【推荐2】在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.
(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得椭圆变换为一个单位圆；
(2)在同一直角坐标系中，（为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换得到，记和的面积分别为与，求证：；
(3)若的三个顶点都在椭圆上，且椭圆中心恰好是的重心，求的面积.

【推荐3】设椭圆的左、右焦点分别为F₁与
F₂，直线过椭圆的一个焦点F₂且与椭圆交于P、Q两点，若的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C经过伸缩变换变成曲线，直线与曲线相切
且与椭圆C交于不同的两点A、B，若，求面积的取值范围．（O为坐标原点）