我们把(其中,)称为一元n次多项式方程.代数基本定理:任何复系数一元次多项式方程(即,,,…,为实数)在复数集内至少有一个复数根;由此推得,任何复系数一元次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根(重根按重数计算).那么我们由代数基本定理可知:任何复系数一元次多项式在复数集内一定可以分解因式,转化为n个一元一次多项式的积.即,其中k,,,,,……,为方程的根.进一步可以推出:在实系数范围内(即,,,…,为实数),方程的有实数根,则多项式必可分解因式.例如:观察可知,是方程的一个根,则一定是多项式的一个因式,即,由待定系数法可知,.
(1)解方程:;
(2)设,其中,,,,且.
(i)分解因式:;
(ii)记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证:当时,.
(1)解方程:;
(2)设,其中,,,,且.
(i)分解因式:;
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更新时间:2024-03-05 09:38:42
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【知识点】 二次函数的图象分析与判断
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【推荐1】已知函数,其中为实数.
(Ⅰ)当时,求函数的最小值;
(Ⅱ)若在上为增函数,求实数的取值范围;
(Ⅲ)对于给定的负数,若存在两个不相等的实数( 且 )使得,求的取值范围.
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【推荐2】定义:对于定义在上的函数和定义在上的函数满足:存在,使得,我们称函数为函数和函数的“均值函数”.
(1)若,函数和函数的均值函数是偶函数,求实数的值;
(2)若,,且存在函数和函数的“均值函数”,求实数的取值范围;
(3)若,,是和的“均值函数”,求的值域.
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【推荐3】已知二次函数,且.
(1)定义:对于函数,若存在,使,则称是的一个不动点;
(i)当,时,求函数的不动点;
(ii)对任意实数b,函数恒有两个相异的不动点,求a的取值范围;
(2)求的图像在x轴上截得的线段长的取值范围.
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