【推荐1】如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线MN的斜率为k，问：

（1）求直线MN的方程；
（2）若的面积为，求的表达式；
（3）若S为的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．

【推荐2】（1）已知直线l过点，它的一个方向向量为．
①求直线l的方程；
②一组直线，，，，，都与直线l平行，它们到直线l的距离依次为d，，，，，（），且直线恰好经过原点，试用n表示d的关系式，并求出直线的方程（用n、i表示）；
（2）在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线，，，，的直线簇，使它同时满足以下三个条件：①点；②，其中是直线的斜率，和分别为直线在x轴和y轴上的截距；③.

【推荐3】已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在C上，且．
(1)求C的标准方程；
(2)设点P关于坐标原点的对称点为Q，不过点P且斜率为的直线与C相交于M，N两点，直线PM与QN交于点，求的值．

【推荐1】椭圆的左右焦点分别为和是椭圆上任一点，若的最大值为.
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)直线交椭圆于两点，若为坐标原点），求椭圆的方程.

【推荐2】已知原点到动直线的距离为2，点到，的距离分别与到直线的距离相等．
（1）证明为定值，并求点的轨迹方程；
（2）是否存在过点的直线，与点的轨迹交于两点，为线段的中点，且？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【推荐3】设，椭圆：与双曲线：的焦点相同．
（1）求椭圆与双曲线的方程；
（2）过双曲线的右顶点作两条斜率分别为，的直线，，分别交双曲线于点，（，不同于右顶点），若，求证：直线的倾斜角为定值，并求出此定值；
（3）设点，若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且，求实数的取值范围．

【推荐1】已知椭圆C：.

（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围；
（3）如图，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆相交于P，Q，R，S四点，设原点O到四边形一边的距离为d，试求时a，b满足的条件.

【推荐2】已知椭圆离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，若点的坐标为，则是否为定值？若是，求该定值，若不是，请说明理由．

【推荐3】已知分别为椭圆：的左、右顶点，为椭圆上异于两点的任意一点，直线的斜率分别记为．

(1)求；
(2)过坐标原点作与直线平行的两条射线分别交椭圆于点，问：的面积是否为定值？请说明理由．