【推荐1】已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线的垂线，交曲线于点（异于点），求面积的最大值.

【推荐2】已知抛物线：和点，若抛物线上存在不同两点、满足．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，抛物线上是否存在异于、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐1】设点分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为3．

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，直线与轴交于点，过点且斜率的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：直线．

【推荐2】已知椭圆，点，分别是椭圆C的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，当为等边三角形时，的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点，点和是椭圆C上的2个不同的动点，若直线平分，求证：直线的斜率为定值．

【推荐3】已知椭圆的左､右焦点分别是，且离心率为，点为椭圆下上动点，面积的最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆的上顶点，直线交椭圆于点，过点的直线(直线的斜率不为1)与椭圆交于两点，点在点的上方．若，求直线的方程．

【推荐1】已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为2，点为轴上一定点，点为上一动点，当轴时，的面积为.
(1)求的标准方程；
(2)斜率为2的动直线与交于不同的两点，直线与的另外一个交点分别为，证明：直线恒过某一定点.

【推荐2】已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆另一个焦点是，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点．若，且，求直线的方程．

【推荐3】已知椭圆的离心率为，，，分别为椭圆的上、下顶点，点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线，与椭圆的另一交点分别为，，证明：直线过定点．

【推荐1】已知椭圆：的左右焦点分别为,,且焦距为2,点为椭圆上的动点（异于椭圆的左､右顶点）,.
(1)证明：;
(2)当,,过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点,在轴上是否存在点,使得为定值?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

【推荐2】已知椭圆W：（a＞b＞0）的离心率，其右顶点A（2，0），直线l过点B（1，0）且与椭圆交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；
（Ⅱ）判断点A与以CD为直径的圆的位置关系，并说明理由．

【推荐3】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，、分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且.
(1)求椭圆方程；
(2)对于轴上的某一点，过作不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若存在轴上的点，使得对符合条件的恒有成立，我们称为的一个配对点，求证：点是左焦点的配对点；
(3)根据（2）中配对点的定义，若点有配对点，试问：点和点的横坐标应满足什么关系，点的横坐标的取值范围是什么？并说明理由.