【推荐1】某人利用一根原木制作一件手工作品，该作品由一个球体和一个正四棱柱组成，假定原 木为圆柱体（如图1），底面半径为，高为，制作要求如下：首先需将原木切割为两部分（分别称为第I圆柱和第II圆柱），要求切面与原木的上下底面平行（不考虑损耗） 然后将第I圆柱切割为一个球体，要求体积最大，将第II圆柱切割为一个正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分别为第II圆柱上下底面圆的内接正方形.

（1）当时，若第I圆柱和第II圆柱的体积相等，求该手王作品的体积；
（2）对于给定的和，求手工作品体积的最大值.

【推荐2】如图，已知一张半径为的圆形薄铁皮（为圆心，厚度忽略不计），从中裁剪一块扇形（图中阴影部分）用作某圆锥形容器的侧面.

（1）若所裁剪的扇形的圆心角为，求圆锥形容器的体积；
（2）试问裁剪的扇形的圆心角为多少时，圆锥形容器的体积最大？并求出最大值.

【推荐1】如图，已知四棱锥中，平面平面，为正三角形，四边形是等腰梯形，，Q，M分别为棱，的中点，的面积为．

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．

【推荐2】如图，在直三棱柱中，，，为中点，与交于点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求三棱锥的表面积．

【推荐1】如图, 已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC,CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2.

（1）求证: EC⊥CD；
（2）求证：AG∥平面BDE；
（3）求：几何体EG-ABCD的体积.

【推荐2】在四棱锥中，平面是正三角形，与的交点为，又，点是的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．

【推荐3】如图，在三棱柱中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，过 作平面平行于 ，交AB于D点，

（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若四边形是正方形，且 ，求直线与平面 所成角的正弦值．