法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人,他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g,上下浮动不超过50 g.这句话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从期望为1 000 g,标准差为50 g的正态分布.
(1)已知如下结论:若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取k(k∈N*,k≥2)个数据,记这k个数据的平均值为Y,则随机变量Y~N.利用该结论解决下面问题.
①假设面包师的说法是真实的,随机购买25个面包,记随机购买25个面包的平均值为Y,求P(Y≤980);
②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到的数据都落在区间(950,1 050)内,并得出计算25个面包的平均质量为978.72 g.庞加莱通过分析举报了该面包师,从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由;
(2)假设有两箱面包(面包除颜色外,其他都一样),已知第一箱中共装有6个面包,其中黑色面包2个;第二箱中共装有8个面包,其中黑色面包3个.现随机挑选一箱,然后从该箱中随机取出2个面包,求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.
附:①若随机变量η服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤η≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤η≤μ+3σ)≈0.997 3;②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件,小概率事件基本不会发生.
(1)已知如下结论:若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取k(k∈N*,k≥2)个数据,记这k个数据的平均值为Y,则随机变量Y~N.利用该结论解决下面问题.
①假设面包师的说法是真实的,随机购买25个面包,记随机购买25个面包的平均值为Y,求P(Y≤980);
②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到的数据都落在区间(950,1 050)内,并得出计算25个面包的平均质量为978.72 g.庞加莱通过分析举报了该面包师,从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由;
(2)假设有两箱面包(面包除颜色外,其他都一样),已知第一箱中共装有6个面包,其中黑色面包2个;第二箱中共装有8个面包,其中黑色面包3个.现随机挑选一箱,然后从该箱中随机取出2个面包,求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.
附:①若随机变量η服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤η≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤η≤μ+3σ)≈0.997 3;②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件,小概率事件基本不会发生.
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(已下线)第8章 概率单元综合能力测试卷-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练(苏教版2019选择性必修第二册)(已下线)8.3 正态分布(七大题型)-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练(苏教版2019选择性必修第二册)(已下线)第八章 概率(单元重点综合测试)-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练(苏教版2019选择性必修第二册)
更新时间:2024-03-25 00:11:59
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适中
(0.65)
【推荐1】2021年3月24日,某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此,中国外交部发言人25日表示,中国光明磊落,中国人民友善开放,但中国民意不可欺、不可违.某记者随机采访了100名群众,调查群众对此事件的看法,根据统计,抽取的100名群众的年龄频率分布直方图如图所示.
(1)求这100名受访群众年龄的平均数(同一组数据用该区间的中点值代替).
(2)由频率分布直方图可以认为,受访群众的年龄服从正态分布,其中近似为.
①求;
②从年龄在,的受访群众中,按分层抽样的方法,抽出7人参加访谈节目录制,再从这7人中随机抽出3人作为代表发言,设这3位发言人的年龄落在内的人数为,求变量的分布列和数学期望.
参考数据:取,若,则,.
(1)求这100名受访群众年龄的平均数(同一组数据用该区间的中点值代替).
(2)由频率分布直方图可以认为,受访群众的年龄服从正态分布,其中近似为.
①求;
②从年龄在,的受访群众中,按分层抽样的方法,抽出7人参加访谈节目录制,再从这7人中随机抽出3人作为代表发言,设这3位发言人的年龄落在内的人数为,求变量的分布列和数学期望.
参考数据:取,若,则,.
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适中
(0.65)
【推荐2】暑假期间,某学校建议学生保持晨读的习惯,开学后,该校对高二、高三随机抽取200名学生(该学校学生总数较多),调查日均晨读时间,数据如表:
将学生日均晨读时间在上的学生评价为“晨读合格”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表,依据的独立性检验,能否认为“晨读合格”与年级有关联?
(2)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全校的情况,现在从该校所有学生中,随机抽取2名学生,记所抽取的2人中晨读合格的人数为随机变量,求的分布列和数学期望.
参考公式:,其中.
参考数据:
日均晨读时间/分钟 | ||||||
人数 | 5 | 10 | 25 | 50 | 50 | 60 |
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表,依据的独立性检验,能否认为“晨读合格”与年级有关联?
项目 | 晨读不合格 | 晨读合格 | 合计 |
高二 | |||
高三 | 15 | 100 | |
合计 |
参考公式:,其中.
参考数据:
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适中
(0.65)
名校
【推荐3】为深入贯彻落实党的二十大精神,也为了加快推动旅游业复苏,进一步增强居民旅游消费意愿,某市开展了党的二十大主题知识问答活动,报名参加知识问答活动的选手将获得两次抽奖机会,每次中奖都会得到某A级旅游景区门票一张,在抽奖箱中放8个大小相同的小球,其中4个为红色,4个为白色.抽奖方式为:每名参赛选手进行两次抽奖,每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球,如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖,两个小球颜色不同即为不中奖.
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱,再进行第二次抽奖,求中奖次数X的分布列和数学期望;
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱,直接进行第二次抽奖,求中奖次数Y的分布列和数学期望;
(3)如果你是主办方,如何在上述两种抽奖方式中进行选择?请写出你的选择及简要理由.
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱,再进行第二次抽奖,求中奖次数X的分布列和数学期望;
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱,直接进行第二次抽奖,求中奖次数Y的分布列和数学期望;
(3)如果你是主办方,如何在上述两种抽奖方式中进行选择?请写出你的选择及简要理由.
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适中
(0.65)
名校
【推荐1】近年来,网络电商已经悄然进入了广大市民的日常生活,并慢慢改变了人们的消费方式为了更好地服务民众,某电商在其官方APP中设置了用户评价反馈系统,以了解用户对商品状况和优惠活动的评价现从评价系统中随机抽出200条较为详细的评价信息进行统计,商品状况和优惠活动评价的2×2列联表如下:
(I)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系?
(Ⅱ)为了回馈用户,公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元,1元,2元的三种优惠券用户每次使用APP购物后,都可获得一张优惠券,且购物一次获得1元优惠券,2元优惠券的概率分别是,,各次获取优惠券的结果相互独立若某用户一天使用了APP购物两次,记该用户当天获得的优惠券面额之和为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据
参考公式:K2,其中n=a+b+c+d
对优惠活动好评 | 对优惠活动不满意 | 合计 | |
对商品状况好评 | 100 | 20 | 120 |
对商品状况不满意 | 50 | 30 | 80 |
合计 | 150 | 50 | 200 |
(Ⅱ)为了回馈用户,公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元,1元,2元的三种优惠券用户每次使用APP购物后,都可获得一张优惠券,且购物一次获得1元优惠券,2元优惠券的概率分别是,,各次获取优惠券的结果相互独立若某用户一天使用了APP购物两次,记该用户当天获得的优惠券面额之和为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据
P(K2≥k) | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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适中
(0.65)
名校
【推荐2】近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态,要求员工实行工作制,即工作日早点上班,晚上点下班,中午和傍晚最多休息小时,总计工作小时以上,并且一周工作天的工作制度,工作期间还不能请假,也没有任何补贴和加班费.消息一出,社交媒体一片哗然,有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的压榨行为,有的人认为只有付出超越别人的努力和时间,才能够实现想要的成功,这是提升员工价值的一种有效方式.对此,国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行工作制,但应该给予一定的加班补贴(单位:百元),对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的名员工进行了补贴数额(单位:百元)期望值的网上问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:
(Ⅰ)求所得样本的中位数(精确到百元);
(Ⅱ)根据样本数据,可近似地认为员工的加班补贴X服从正态分布,若该集团共有员工,试估计有多少员工期待加班补贴在元以上;
(Ⅲ)已知样本数据中期望补贴数额在范围内的名员工中有名男性,名女性,现选其中名员工进行消费调查,记选出的女职员人数为,求的分布列和数学期望.
附:若,则,,.
组别(单位:百元) | |||||
频数(人数) |
(Ⅰ)求所得样本的中位数(精确到百元);
(Ⅱ)根据样本数据,可近似地认为员工的加班补贴X服从正态分布,若该集团共有员工,试估计有多少员工期待加班补贴在元以上;
(Ⅲ)已知样本数据中期望补贴数额在范围内的名员工中有名男性,名女性,现选其中名员工进行消费调查,记选出的女职员人数为,求的分布列和数学期望.
附:若,则,,.
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适中
(0.65)
解题方法
【推荐3】某苗木基地常年供应多种规格的优质树苗.为更好地销售树苗,建设生态文明家乡和美好家园,基地积极主动地联系了甲、乙、丙三家公司,假定基地得到公司甲、乙、丙的购买合同的概率分别、、,且基地是否得到三家公司的购买合同是相互独立的.
(1)若公司甲计划与基地签订300棵银杏实生苗的销售合同,每棵银杏实生苗的价格为90元,栽种后,每棵树苗当年的成活率都为0.9,对当年没有成活的树苗,第二年需再补种1棵.现公司甲为苗木基地提供了两种售后方案,
方案一:公司甲购买300棵银杏树苗后,基地需提供一年一次,共计两年的补种服务,且每次补种人工及运输费用平均为800元;
方案二:公司甲购买300棵银杏树苗后,基地一次性地多给公司甲60棵树苗,后期的移栽培育工作由公司甲自行负责.
若基地首次运送方案一的300棵树苗及方案二的360棵树苗的运费及栽种费用合计都为1600元,试估算两种方案下苗木基地的合同收益分别是多少?
(2)记为该基地得到三家公司购买合同的个数,若,求随机变量的分布列与数学期望.
(1)若公司甲计划与基地签订300棵银杏实生苗的销售合同,每棵银杏实生苗的价格为90元,栽种后,每棵树苗当年的成活率都为0.9,对当年没有成活的树苗,第二年需再补种1棵.现公司甲为苗木基地提供了两种售后方案,
方案一:公司甲购买300棵银杏树苗后,基地需提供一年一次,共计两年的补种服务,且每次补种人工及运输费用平均为800元;
方案二:公司甲购买300棵银杏树苗后,基地一次性地多给公司甲60棵树苗,后期的移栽培育工作由公司甲自行负责.
若基地首次运送方案一的300棵树苗及方案二的360棵树苗的运费及栽种费用合计都为1600元,试估算两种方案下苗木基地的合同收益分别是多少?
(2)记为该基地得到三家公司购买合同的个数,若,求随机变量的分布列与数学期望.
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适中
(0.65)
【推荐1】2021年是中国共产党建党100周年,为引导和带动青少年重温中国共产党的百年光辉历程,某市组织全市中学生参加中国共产党百年历史知识竞赛,现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本,并将得分分成以下6组:,统计结果如图所示.
(1)试估计这100名学生得分的中位数(保留小数点后两位有效数字);
(2)从样本中得分不低于70分的学生中,按比例用分层随机抽样的方法选取11人进行座谈,若从座谈名单中随机抽取3人,记其得分在的人数为,试求的分布列和均值;
(3)用样本估计总体,根据频率分布直方图,可以认为参加知识竞赛的学生的得分近似地服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差,经计算.现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取2000人,若这2000名学生的得分相互独立,试问得分高于90分的人数最有可能是多少?
参考数据:若随机变量,则,.
(1)试估计这100名学生得分的中位数(保留小数点后两位有效数字);
(2)从样本中得分不低于70分的学生中,按比例用分层随机抽样的方法选取11人进行座谈,若从座谈名单中随机抽取3人,记其得分在的人数为,试求的分布列和均值;
(3)用样本估计总体,根据频率分布直方图,可以认为参加知识竞赛的学生的得分近似地服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差,经计算.现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取2000人,若这2000名学生的得分相互独立,试问得分高于90分的人数最有可能是多少?
参考数据:若随机变量,则,.
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适中
(0.65)
【推荐2】为了解某校学生假期日平均数学学习时间情况,现随机抽取500名学生进行调查,由调查结果得如下频率分布直方图
(1)求这500名学生假期日平均数学学习时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组的中点值作代表)
(2)由直方图认为该校学生假期日平均数学学习时间服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本的方差,
()利用该正态分布,求;
()若随机从该校学生中抽取200名学生,记表示这200名学生假期日平均数学学习时间位于的人数,利用()的结果,求.
附:
若,则,
(1)求这500名学生假期日平均数学学习时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组的中点值作代表)
(2)由直方图认为该校学生假期日平均数学学习时间服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本的方差,
()利用该正态分布,求;
()若随机从该校学生中抽取200名学生,记表示这200名学生假期日平均数学学习时间位于的人数,利用()的结果,求.
附:
若,则,
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适中
(0.65)
【推荐3】某企业为了提高产量,需通过提高工人的工资,调动员工的工作积极性,为了对员工工资进行合理调整,需对员工的日加工量进行分析.为此随机抽取了50名员工某天加工零件的个数x(单位:个),整理后得到频数分布表如下:
(1)由频数分布表估计这50名员工这一天加工产量的平均值x(四舍五入取整)(区间值用中点值代替);
(2)该企业为提高产量,开展了一周(7天)的“超量有奖”宣传活动,并且准备了6.5万元用于发给超量的员工.规定在这一周内,凡是生产线上日加工量在290个以上(含290)的员工,除获得“日生产线上的标兵”的荣称号外,当天还可额外获得100元的超量奖励,若该企业生产线上的4000名员工每天加工零件数量大致服从正态分布,其中近似为(1)中的平均值,请利用正态分布知识估计6.5万元用于超量奖的准备金是否充足;
(3)为了解“日生产线上的标兵”员工的生产情况,企业有关部门对抽取的样本中的50名员工中的日生产量进行分析发现,有6个获得“日生产线上的标兵”的荣誉称号,现从这6名员工中任意抽取4名员工,记日生产量至少为300个的员工人数为,求的分布列与数学期望.
参考数据:,,.
零件个数x/个 | |||||||
频数y | 5 | 6 | 9 | 12 | 8 | 6 | 4 |
(2)该企业为提高产量,开展了一周(7天)的“超量有奖”宣传活动,并且准备了6.5万元用于发给超量的员工.规定在这一周内,凡是生产线上日加工量在290个以上(含290)的员工,除获得“日生产线上的标兵”的荣称号外,当天还可额外获得100元的超量奖励,若该企业生产线上的4000名员工每天加工零件数量大致服从正态分布,其中近似为(1)中的平均值,请利用正态分布知识估计6.5万元用于超量奖的准备金是否充足;
(3)为了解“日生产线上的标兵”员工的生产情况,企业有关部门对抽取的样本中的50名员工中的日生产量进行分析发现,有6个获得“日生产线上的标兵”的荣誉称号,现从这6名员工中任意抽取4名员工,记日生产量至少为300个的员工人数为,求的分布列与数学期望.
参考数据:,,.
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适中
(0.65)
【推荐1】河北省高考从2018年秋季高中入学的新生开始新模式,即模式;2021年开始,高考总成绩由语数外+物理、历史(选1门)+化学、生物、政治、地理(选2门)等六门科目构成.现将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、、B、、C、、D、E共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到、、、、、、、八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中化学考试原始成绩基本服从正态分布.
(1)求化学原始成绩在区间的人数;
(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记X表示这3人中等级成绩在区间的人数,求X的分布列和数学期望.
(附:若随机变量,则,,)
(1)求化学原始成绩在区间的人数;
(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记X表示这3人中等级成绩在区间的人数,求X的分布列和数学期望.
(附:若随机变量,则,,)
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适中
(0.65)
【推荐2】在创建“全国文明卫生城”过程中,某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次),通过随机抽样,得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示:
(1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分,近似为这100人得分的平均值.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),利用该正态分布,求;
(2)在(1)的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
①得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于的可以获赠1次随机话费;
②每次获赠的随机话费和对应的概率为:
现有市民甲参加此次问卷调查,记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列与数学期望.
附:参考数据:
① ;
② ;
③若,则 .
组别 | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
频数 | 2 | 13 | 21 | 25 | 24 | 11 | 4 |
(1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分,近似为这100人得分的平均值.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),利用该正态分布,求;
(2)在(1)的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
①得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于的可以获赠1次随机话费;
②每次获赠的随机话费和对应的概率为:
赠送话费的金额(元) | 20 | 50 |
概率 |
现有市民甲参加此次问卷调查,记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列与数学期望.
附:参考数据:
① ;
② ;
③若,则 .
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适中
(0.65)
名校
【推荐3】粮食安全始终是关系我国国民经济发展、社会稳定和国家自立的全局性重大战略问题.化肥的施用对粮食增产增收起到了重要作用,研究粮食产量与化肥施用量的关系,是做到合理施用化肥,使其最大程度地促进粮食增产的前提.某研究团队收集了10组某作物亩化肥施用量和亩产量的数据,,2,3,…,10,其中(单位:公斤)表示亩化肥施用量,(单位:百公斤)表示该作物亩产量.并对这些数据作了初步处理,得到了一些统计量的值如右表所示:表中,,,2,3,…,10.通过对这10组数据分析,发现当亩化肥施用量在合理范围内变化时,可用函数模拟该作物亩产量y关于亩化肥施用量x的关系.
(1)根据表中数据,求y关于x的经验回归方程;
(2)实际生产中,在其他生产条件相同的条件下,出现了亩施肥量为30时,该作物亩产量仅约为510的情况,请给出解释;
(3)合理施肥、科学管理,能有效提高该作物的投资效益(投资效益=产出与投入比).经试验统计可知,该研究团队的投资效益服从正态分布,政府对该研究团队的奖励方案如下:若,则不予奖励;若,则奖励10万元;若,则奖励30万元.求政府对该研究团队的奖励金额的数学期望.
附:①,;②对于一组数据(,2,3,…,n),其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,;③若随机变量X服从正态分布,则,,.
38.5 | 15 | 17.5 | 47 |
(2)实际生产中,在其他生产条件相同的条件下,出现了亩施肥量为30时,该作物亩产量仅约为510的情况,请给出解释;
(3)合理施肥、科学管理,能有效提高该作物的投资效益(投资效益=产出与投入比).经试验统计可知,该研究团队的投资效益服从正态分布,政府对该研究团队的奖励方案如下:若,则不予奖励;若,则奖励10万元;若,则奖励30万元.求政府对该研究团队的奖励金额的数学期望.
附:①,;②对于一组数据(,2,3,…,n),其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,;③若随机变量X服从正态分布,则,,.
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