某公司为了解年研发资金投入量(单位:亿元)对年销售额(单位:亿元)的影响,对公司近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据,进行了对比分析,建立了①,②两个模型,其中均为常数,为自然对数的底数,并得到一些统计量的值.令,经计算得到如下数据:
(1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型的拟合程度更好;
(2)由(1)的结论,求拟合程度更好的线性回归方程;
(3)若该公司计划年销售额突破10亿元,根据以上所求的线性回归方程,预测该公司年研发资金投入量至少为多少亿元.
附:相关系数.
线性回归方程中,,.
取.
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| |||||||
22 | 66 | 5885 | 52276 | 460 | 5 | |||
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| |||||||
31250 | 364540 | 3.08 | 1334 |
(2)由(1)的结论,求拟合程度更好的线性回归方程;
(3)若该公司计划年销售额突破10亿元,根据以上所求的线性回归方程,预测该公司年研发资金投入量至少为多少亿元.
附:相关系数.
线性回归方程中,,.
取.
23-24高二下·河南南阳·阶段练习 查看更多[2]
(已下线)专题8.2 一元线性回归模型及其应用【七大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第三册)河南省南阳地区2023-2024学年高二下学期3月阶段检测考试数学试题
更新时间:2024-04-06 00:17:40
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适中
(0.65)
名校
【推荐1】在某化学反应的中间阶段,压力保持不变,温度从变化到,反应结果如下表所示(代表温度,代表结果):
(1)求化学反应的结果对温度的线性回归方程;
(2)判断变量与之间是正相关还是负相关,并预测当温度达到时反应结果为多少?
附:线性回归方程中,,.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
3 | 5 | 7 | 10 | 11 |
(2)判断变量与之间是正相关还是负相关,并预测当温度达到时反应结果为多少?
附:线性回归方程中,,.
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(0.65)
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解题方法
【推荐2】红铃虫是棉花的主要害虫之一,能对农作物造成严重伤害,每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(1)根据散点图判断,与(其中为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)并由判断结果及表中数据,求出y关于x的回归方程,(计算结果精确到0.01)
(2)根据以往统计,该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,假设该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p.若当时,该地今后5年中恰好有3年需要人工防治的概率最大,求的值.
附:回归方程,,.
平均温度x/℃ | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 31 | 33 |
平均产卵数y/个 | 7 | 11 | 21 | 24 | 66 | 115 | 325 |
1.9 | 2.4 | 3.0 | 3.2 | 4.2 | 4.7 | 5.8 |
(2)根据以往统计,该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,假设该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p.若当时,该地今后5年中恰好有3年需要人工防治的概率最大,求的值.
参考数据 | ||||
5215 | 17713 | 717 | 81.3 | 3.6 |
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(0.65)
【推荐3】自我国爆发新冠肺炎疫情以来,各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产.某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度,并将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列,第五组与第二组的频率相等.
(1)估计口罩生产车间工人生产速度的中位数(结果写成分数的形式);
(2)为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关,现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄(参加工作的年限),数据如下表:
根据上述数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的回归方程,并据此估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度.
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为:,.
(1)估计口罩生产车间工人生产速度的中位数(结果写成分数的形式);
(2)为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关,现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄(参加工作的年限),数据如下表:
工龄x(单位:年) | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
生产速度y(单位:件/小时) | 42 | 57 | 62 | 62 | 67 |
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为:,.
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【推荐1】自公安部交通管理局部署全国公安交管部门开展“一盔一带”安全守护行动以来,德州市电动自行车安全头盔平均佩戴率大幅提升.下表是德州市一主干路段对电动车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数统计数据:
附:回归方程中,斜率和截距最小二乘法估计公式分别为,.
相关系数,.
(1)请利用相关系数说明“不佩戴安全头盔”与月份有很强的线性相关关系(系数精确到0.01);
(2)求y关于x的回归方程.
月份 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
不佩戴安全头盔人数 | 160 | 120 | 100 | 70 | 50 |
相关系数,.
(1)请利用相关系数说明“不佩戴安全头盔”与月份有很强的线性相关关系(系数精确到0.01);
(2)求y关于x的回归方程.
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(0.65)
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【推荐2】某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验,得到的实验数据经整理得到如下的折线图:
(1)由图可以看出,这种酶的活性与温度具有较强的线性相关性,请用相关系数加以说明;
(2)求关于的线性回归方程,并预测当温度为时,这种酶的活性指标值.(计算结果精确到0.01)
参考数据:,,,.
参考公式:相关系数.
回归直线方程,,.
(1)由图可以看出,这种酶的活性与温度具有较强的线性相关性,请用相关系数加以说明;
(2)求关于的线性回归方程,并预测当温度为时,这种酶的活性指标值.(计算结果精确到0.01)
参考数据:,,,.
参考公式:相关系数.
回归直线方程,,.
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解题方法
【推荐3】经验表明,一般树的直径(树的主干在地而以上1.3m处的直径)越大,树就越高.由于测量树高比测量直径困难,因此研究人员希望由树的直径预测树高.在研究树高与直径的关系时,某林场收集了某种树的一些数据如下表:
(1)请用样本相关系数(精确到0.01)说明变量x和y满足一元线性回归模型;
(2)建立y关于x的一元线性回归方程;并估计当树的直径为45cm时,树高为多少?(精确到0.01)
附参考公式:相关系数
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,
参考数据:
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
直径x/cm | 19 | 22 | 26 | 29 | 34 | 38 |
树高y/m | 5 | 7 | 10 | 12 | 14 | 18 |
(2)建立y关于x的一元线性回归方程;并估计当树的直径为45cm时,树高为多少?(精确到0.01)
附参考公式:相关系数
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,
参考数据:
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解题方法
【推荐1】某公司近年来特别注重创新产品的研发,为了研究年研发经费(单位:万元)对年创新产品销售额(单位:十万元)的影响,对近年的研发经费与年创新产品销售额(其中,)的数据作了初步处理,得到如图的散点图及一些统计量的值.
其中,,,.现拟定关于的回归方程为.
(1)求、的值(结果精确到);
(2)根据拟定的回归方程,预测当研发经费为万元时,年创新产品销售额是多少?
参考公式:求线性回归方程系数公式 :,.
其中,,,.现拟定关于的回归方程为.
(1)求、的值(结果精确到);
(2)根据拟定的回归方程,预测当研发经费为万元时,年创新产品销售额是多少?
参考公式:求线性回归方程系数公式 :,.
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【推荐2】网民的智慧与活力催生新业态,网络购物,直播带货,APP买菜等进入我们的生活,改变了我们的生活方式,随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.自“国家反诈中心APP”推出后,某地区采取多措并举的推广方式,努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”.经统计,该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关,并记录了经推广x个月后月报案件数y的数据.
(1)根据以上数据,判断与哪一个适宜作为回归方程模型?根据判断结果,求出y关于x的回归方程;
(2)分析该地区一直推广下去,两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下.
参考数据(其中,,,,.
参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
x(个) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y(件) | 891 | 888 | 351 | 220 | 200 | 138 | 112 |
(2)分析该地区一直推广下去,两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下.
参考数据(其中,,,,.
参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
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解答题-应用题
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(0.65)
解题方法
【推荐3】某高科技公司对其产品研发年投资额x(单位:百万元)与其年销售量y(单位:千件)的数据进行统计,整理后得到如下统计表1和散点图.
表1:
(1)求年销售量y关于年投资额x的线性经验回归方程;
(2)该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后,计划用作为年销售量y关于年投资额x的非线性经验回归方程,请根据表2的数据,求出此方程;
表2:
(3)根据,及表3数据,请用残差平方和比较(1)和(2)中经验回归方程的拟合效果哪个更好?
表3:
参考公式:,.
表1:
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 0.5 | 1 | 1.5 | 3 | 5.5 |
(1)求年销售量y关于年投资额x的线性经验回归方程;
(2)该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后,计划用作为年销售量y关于年投资额x的非线性经验回归方程,请根据表2的数据,求出此方程;
表2:
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
0 | 0.4 | 1.1 | 1.7 |
表3:
n | 2 | 3 | 4 | 5 |
的近似值 | 3.2 | 5.8 | 10.5 | 18.9 |
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