【推荐1】设等差数列的前项和为，且，.数列满足，，（，），
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证：是等比数列，且的通项公式；
（3）设数列满足，求的前项和为.

【推荐2】已知数列中，，且.
(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)设，，其中，若对任意，总有成立，求的取值范围.

【推荐3】定义运算“”：对于任意，（等式的右边是通常的加减乘运算）．若数列的前n项和为，且对任意都成立．
（1）求的值，并推导出用表示的解析式；
（2）若，令，证明数列是等差数列；
（3）若，令，数列满足，求正实数b的取值范围．

【推荐1】用两种方法证明：能被49整除．

【推荐2】已知数列，，数列的前n项和为，问：是否存在正整数m，n，r，使得成立？如果存在，请求出m，n，r的关系式；如果不存在，请说明理由

【推荐1】若数列中不超过 f (m)的项数恰为b_m (m∈N * )，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数 f (m)是生成的控制函数，设 f (m) = m².
（1）若数列单调递增，且所有项都是自然数，b₁ =1，求a₁；
（2）若数列单调递增，且所有项都是自然数，a ₁= b₁ ，求a₁ ；
（3）若a_n =2n (n =1，2，3)，是否存在生成的控制函数g(n) = pn² + qn + r（其中常数p，q，r∈Z），使得数列也是数列的生成数列？若存在，求出g(n)；若不存在，说明理由.

【推荐2】若数列满足，数列为数列，记.
（1）写出一个满足，且的数列；
（2）若，，证明：数列是递增数列的充要条件是；
（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.

【推荐3】定义：若无穷数列满足是公比为q的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，，.
（1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式：
（2）设数列的前n项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）若数列是“数列”，是否存在正整数m，n，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由.