【推荐1】已知椭圆：过点，其焦点为，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点在椭圆上，且，求的面积.

【推荐2】已知椭圆，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为的正方形，斜率为的直线经过点，与椭圆交于不同两点、.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当椭圆的右焦点在以为直径的圆内时，求的取值范围.

【推荐3】如图，从椭圆C：上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，.

(1)求C的方程；
(2)过F且斜率不为0的直线l与C相交于M，N两点，线段MN的中点为E，直线OE与直线相交于点D，若△MDF为等腰直角三角形，求l的方程.

【推荐1】已知椭圆：（）过点，过其右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若矩形各边均与椭圆相切，
①证明：矩形的对角线长为定值；
②求矩形周长的最大值.

【推荐2】已知椭圆的上顶点与左右焦点构成三角形面积为，又椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的斜率为，直线与椭圆C交于两点．点为椭圆上一点，求的面积的最大值．

【推荐1】已知、分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上异于左、右顶点的一点，过点作的外角平分线的垂线交的延长线于点.
（1）当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）设点，过点作一条斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，是坐标原点，求证：为定值.

【推荐2】已知点为椭圆C：上一点，且椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆C的方程．
（2）若为直线上的一点，过点作椭圆C的两条切线，切点分别为，，，．
①判断直线与椭圆C的位置关系（只给出判断不写理由）；
②直线上是否存在一点，使为定值？若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2,、分别为其左、右焦点．请从下列两个条件中选择一个作为已知条件,完成下面的问题:
①过点且斜率为1的直线与椭圆E相切;
②过且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P,且的面积为．(只能从①②中选择一个作为已知)
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点的直线l与椭圆E交于A,B两点,与直线交于H点,若,．证明:为定值．