【推荐1】某海域有两个岛屿，岛在岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发出过鱼群．以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.

（1）求曲线的标准方程；
（2）某日，研究人员在两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？

【推荐3】已知荒漠上有两定点A，B，它们相距2km，现准备在荒漠上围垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8km.又该荒漠上有一条直水沟l恰好经过点A，且与AB成30°角.现要对整条水沟进行加固，但考虑到今后农艺园的水沟要重新设计改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长？

【推荐1】已知椭圆C：（a＞b＞0）上的点到它两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)设P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，试判断QM与QN所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由.

【推荐2】设圆：的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．
（Ⅰ）求证：，并写出点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过的直线交轨迹于，两点．若的中点为，直线（为坐标原点）交直线于．
①求的大小；
②求的最大值．

【推荐3】已知椭圆的离心率为其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.

（1）求椭圆的方程；
（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.