【推荐1】已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若，求的最小值；
（2）若，证明：.

【推荐2】设点为平面直角坐标系中的一个动点（其中为坐标系原点），点到定点的距离比到直线的距离大1，动点的轨迹方程为.
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的直线与曲线相交于、两点.
①若，求直线的直线方程；
②分别过点，作曲线的切线且交于点，是否存在以为圆心，以为半径的圆与经过点且垂直于直线的直线相交于、两点，求的取值范围.

【推荐3】已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)若对任意的，均存在，使得，求a的取值范围．