【推荐1】如图；.已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:设圆T与椭圆C交于点M、N.

（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程;
（3）设点P是椭圆C 上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与轴交于点R，S，O为坐标原点. 试问；是否存在使最大的点P，若存在求出P点的坐标，若不存在说明理由.

【推荐2】已知椭圆的长轴长为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程和离心率.
(2)设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且点在轴的右侧.若，求四边形面积的最小值.

【推荐3】在平面直角坐标系中，点为椭圆：的右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线、斜率的乘积为，两直线，分别与椭圆交于、、、四点，求四边形的面积.

【推荐1】已知椭圆的上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为的面积为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与交于两点，过点作轴于点，过点作轴于点与交于点.
①求证：点在定直线上，
②求的面积的最大值.

【推荐2】已知曲线，直线经过点与相交于、两点.

(1)若且，求证：必为的焦点；
(2)设，若点在上，且的最大值为，求的值；
(3)设为坐标原点，若，直线的一个法向量为，求面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆经过点，离心率，其中分别表示标准正态分布的期望值与标准差．

（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为．
①试建立的面积关于m的函数关系；②莆田十中高三（1）班数学兴趣小组通过试验操作初步推断：“当m变化，直线与x轴相交时，交点是一个定点”．你认为此推断是否正确?若正确，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不正确，请说明理由．

【推荐1】已知直线，动点分别在直线上，，是线段的中点，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知点，过点作直线与曲线交于不同的两点，线段上一点满足，求的最小值.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，且过点，设M．F分别是椭圆E的左、右焦点．
（1）是椭圆E的标准方程；
（2）若椭圆E上至少有个不同11的点，使得，，，…组成公差为d的等差数列，求公差d的取值范围
（3）若过右焦点F的直线交椭圆E于A，B两点，过左焦点M的直线交椭圆E于C，D两点，且，求的最小值．

【推荐3】如图，已知椭圆：，点，是它的两个顶点，过原点且斜率为的直线与线段相交于点，且与椭圆相交于、两点．
   
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.