【推荐1】已知焦点在轴上的椭圆的中心是原点，离心率等于，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，直线与轴交于点，与椭圆交于两个相异点，且.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ)若，求的取值范围.

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别是，其离心率，点为椭圆上的一个动点，面积的最大值为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点，直线，与轴分别相交于两点，试问是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.

【推荐3】如图，椭圆（）的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线的斜率为0时，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求使取最小值时直线的方程．

【推荐1】已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆与直线相切于点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线：与椭圆相交于、两点（，不是长轴端点），且以为直径的圆过椭圆在轴正半轴上的顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

【推荐3】已知曲线上任意一点M到直线的距离是它到点 距离的2倍；曲线是以原点为顶点，F为焦点的抛物线．
(1)求 的方程；
(2)设过点F的直线与曲线相交于 两点，分别以为切点引曲线的两条切线 ，设相交于点P，连接的直线交曲线于 两点，求的最小值．

【推荐1】已知椭圆的一个焦点为，且椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，，求面积的最大值．

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为离心率，点在且椭圆上，
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围.
（3）试用表示的面积，并求面积的最大值.

【推荐3】生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点现椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点，这束光线的总长度为4，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A、B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，求线段的长度的最大值及取最大值时点P的坐标；
(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，的斜率分别为，若，证明：直线l过定点，并求出定点的坐标．

【推荐1】已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点为，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是线段上的一个动点，且，求m的取值范围；
（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知，分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为，动弦MN平行于x轴，且．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B为椭圆E的左右顶点，P为直线上的一动点（点P不在x轴上），连AP交椭圆于C点，连PB并延长交椭圆于D点，试问是否存在，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【推荐3】设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，过，三点的圆恰好与直线相切．
求椭圆的方程；
过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，问在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．