【推荐1】已知椭圆的离心率为，斜率为且在轴上的截距为1的动直线与交于两点，当时，直线过的右顶点.
(1)求的方程；
(2)设为线段AB的中点，过作直线交轴于点，直线交轴于点，的面积分别记为，若，求的取值范围.

【推荐2】已知为坐标原点，椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上的任意一点，的最大值为，最小值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，若，点在上，且.试问是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点与两定点的距离之比且是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的上顶点与右顶点，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，过点斜率分别为的直线与椭圆的另一个交点分别为，且满足，试探究面积是否存在最大值，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆过点和．
(1)求C的方程；
(2)设直线l：，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l，直线AB于M，N两点，求的最小值．

【推荐2】已知圆O经过椭圆C：的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上．
求椭圆C的方程；
若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且，求直线l的倾斜角．

【推荐3】已知抛物线的方程为，焦点为，有一定点，在抛物线准线上的射影为，为抛物线上一动点.
（1）当取最小值时，求；
（2）如果一椭圆以、为焦点，且过点，求椭圆的方程及右准线方程；
（3）设是过点且垂直于轴的直线，是否存在直线，使得与抛物线交于两个
不同的点、，且恰被平分？若存在，求出的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆C：经过点P，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P作直线l//y轴，第四象限内一点A在椭圆C上（点A不在直线l上），点A和点B关于直线l对称，直线BP与椭圆的另一个交点为Q，试判断直线AQ和直线OP（O为原点）的位置的关系，并说明理由．

【推荐2】已知椭圆系方程：(，)， 是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且.

（1）求的离心率并求出的方程；
（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为，求证：的面积为定值，并求出这个定值．

【推荐3】已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知定点，直线与椭圆相交与，两点，若（为坐标原点），求的值.

【推荐1】已知椭圆：的右焦点为，过的直线交于，两点.
   
(1)若直线垂直于轴，求线段的长；
(2)若直线与轴不重合，为坐标原点，求面积的最大值；
(3)若椭圆上存在点使得，且的重心在轴上，求此时直线的方程.

【推荐2】已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当椭圆和圆：.过点作直线和，且两直线的斜率之积等于，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点，．
（i）求的取值范围；
（ii）求面积的最大值．

【推荐3】已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线与椭圆C交于不同的两点，点D在第二象限，直线分别与x轴交于，求四边形面积的最大值．