【推荐1】如图，在直三棱柱中，，是的中点，.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）异面直线和所成角的余弦值为，求几何体的体积.

【推荐2】如图，正方形与直角梯形所在平面相互垂直，，，.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.

【推荐3】如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)求证：为正四面体；
(2)若，求二面角的大小；
(3)设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.

【推荐1】棱台中，平面，，且，，为的中点，是上一点，且（）.求证：平面；

【推荐2】如图，在正方体中，为底面的中心.
求证：
   
(1)平面；
(2).

【推荐3】如图，在三棱锥中，底面，，，，分别是，的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求四面体的体积．