【推荐1】已知椭圆 的离心率为，其中左焦点.
（1）求出椭圆的方程；
（2）若直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在曲线上，求的值.

【推荐2】已知点F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F₂的距离的最大值为，且△PF₁F₂的最大面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）点M的坐标为，过点F₂且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．

【推荐3】已知椭圆经过点，点为椭圆C的右焦点，过点F与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在线段OF上是否存在点，使得？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点．

（1）求证：；
（2）若在射线上，且，求证：点在定直线上．

【推荐2】在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比.
（1）已知的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”所得曲线的方程；
（2）射线的方程（），如果椭圆：经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆、分别交于两点､，且，求椭圆的方程；
（3）对抛物线：，作变换，得抛物线：；对作变换得抛物线：，如此进行下去，对抛物线：作变换，得：若，，求数列的通项公式.

【推荐3】在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点为，，其离心率为.A为椭圆的左顶点，P为椭圆上的动点（不与椭圆的左右顶点重合）.已知的面积的最大值为.

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，N为的中点，直线交直线于点D，直线，交于点H.
（i）求；
（ii）证明：.

【推荐1】已知过点的抛物线的焦点为F，直线与抛物线的另一交点为B，点A关于x轴的对称点为.
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求直线与x轴交点的坐标.

【推荐3】已知点为抛物线上一点，F为的焦点，A、B是C上两个动点．
(1)直线经过点F时，求的最小值．
(2)若直线，的倾斜角互补，与C的另一个交点为A，求直线的斜率．