【推荐1】设矩形的周长为，其中．如图所示，把它沿对角线向折叠，折过去后交边于点．设，．

(1)将表示成的函数，并求定义域；
(2)当长为多少时，的面积最大，并求出最大值．

【推荐2】学校欲在甲、乙两店采购某款投影仪，该投影仪原价为每台2000元，甲店用如下方法促销：买一台单价为1950元，买二台单价为1900元，每多买一台，则所买各台单价均再减50元，但最低不能低于1200元；乙店一律按原售价的80%促销，学校需要购买台投影仪，若在甲店购买费用为元，若在乙店购买费用记为.
（1）分别求出和的解析式；
（2）当购买台时，在哪家店买更省钱？

【推荐3】如图，曲线是一条居民平时散步的小道，小道两旁是空地，当地政府为了丰富居民的业余生活，要在小道两旁规划出两地来修建休闲活动场所，已知空地和规划的两块用地（阴影区域）都是矩形，，，，若以所在直线为轴，为原点，建立如图平面直角坐标系，则曲线的方程为，记，规划的两块用地的面积之和为.（单位：）

（1）求关于的函数；
（2）求的最大值.

【推荐2】今年是中国“一带一路”但议提出十周年，期间中国与共建国家共同打造政治互信、经济融合的利益共同体，中国对外投资大幅增加.某中国企业抓住机遇，准备到某地建立原材料加工厂.此地有三处原材料采集点，分别位于矩形的顶点A、B，及的中点处，已知，.现要在矩形的区域内（不含边界），与A、B等距离的一点O处建厂，并修路、、，以便从采集点向工厂运输原材料.设修路的总长为.
   
(1)按下列要求写出函数关系式：
①设，将表示成的函数关系式；
②设，将表示成的函数关系式.
(2)请你选用（1）中的一个函数关系式，确定建厂的位置，使三条路总长度最短.

【推荐3】已知函数.
（1）若，证明：；
（2）若在上有两个极值点，求实数a的取值范围.